RUMUS MATEMATIKA SMA
Oleh Russel Sng
Oleh Russel Sng
Bab 1
Rumus-Rumus Trigonometri (Matematika)
C. Hubungan Sudut Berelasi antara Sin, Cos dan Tangen
D. Rumus-rumus Trigonometri
1. Aturan sinus
2. Aturan Cosinus
3. Luas Segitiga ABC
4. Jumlah dan Selish Dua Sudut
5. Sudut 2A (Sudut Kembar)
6. Hasil Kali Dua Fungsi Trigonometri
7. Jumlah Selisih Dua Fungsi Trigonometri
8. Persamaan Trigonometri
9. Bentuk a Cos x + b Sin x
10. Bentuk a Cos x + b Sin x = c
11. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi f(x) =a Cos x + b Sin x
Bab 2
Perhitungan Konversi Satuan
Dalam
perhitungan khususnya dalam dunia IPA, kita kembutuhkan keahlian dalam
perhitungan. Dan terkadang terdapat perhitungan yang memerlukan
konversi.
Angka
dan satuan terkait dalam besaran apapun yang kita ukur, seperti
panjang, massa atau kecepatan. Sering kita diberikan besaran dalam
satuan tertentu dan kita kita ingin menyatakannya dalam satuan lain.
Misalnya kita mengetahui jarak dua desa dalam satuan meter dan kita
ingin mengetahui berapa jaraknya dalam satuan kilometer. Demikian pula
dengan massa benda. Misalnya kita mengukur berat badan kita dalam satuan
kg dan kita ingin mengetahui berat badan kita dalam satuan pon. Untuk
itu kita harus mengkonversi satuan tersebut. Konversi berarti mengubah.
Untuk mengkonversi satuan, terlebih dahulu harus diketahui beberapa hal
yang penting, antara lain awalan-awalan metrik yang digunakan dalam
satuan dan faktor konversi.
Awalan-awalan satuan yang sering digunakan dapat anda lihat pada tabel berikut ini.
Awalan-awalan satuan yang sering digunakan dapat anda lihat pada tabel berikut ini.
km = kilometer
hm = hektometer
dam = dekameter
m = meter
dm = desimeter
cm = centimeter
mm = milimeter
Konversi Satuan SI
Kelebihan sistem Satuan Internasional (SI) adalah kemudahan dalam pemakaiannya karena menggunakan sistem desimal (kelipatan 10) dan hanya ada satu satuan pokok untuk setiap besaran dengan penambahan awalan untuk satuan yang lebih besar atau lebih kecil. Misalnya, 1 centimeter = 0,01 meter atau 1 kilogram sama dengan 1000 gram. Untuk kemudahan mengubah suatu satuan ke satuan lain dapat dilakukan dengan menggunakan bantuan tangga konversi seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini.
Kelebihan sistem Satuan Internasional (SI) adalah kemudahan dalam pemakaiannya karena menggunakan sistem desimal (kelipatan 10) dan hanya ada satu satuan pokok untuk setiap besaran dengan penambahan awalan untuk satuan yang lebih besar atau lebih kecil. Misalnya, 1 centimeter = 0,01 meter atau 1 kilogram sama dengan 1000 gram. Untuk kemudahan mengubah suatu satuan ke satuan lain dapat dilakukan dengan menggunakan bantuan tangga konversi seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini.
kg = kilogram
hg = hektogram
dag = dekagram
g = gram
dg = desigram
cg = centigram
mg = miligram
Cara mengkonversi satuan-satuan SI dengan tangga konversi :
Pertama, Letakkan satuan asal yang akan dikonversi dan satuan baru yang akan dicari pada tangga sesuai dengan urutan tangga konversi
Kedua, Hitung jumlah langka yang harus ditempuh dari satuan asal ke satuan baru
a. Jika satuan baru berada di bawah satuan asal ( menuruni tangga ), maka :
* Setiap turun satu tangga, bilangan asal dikali 10
* Setiap turun dua tangga, bilangan asal dikali 10
* Setiap turun tiga tangga, bilangan asal dikali 1000, dan seterusnya
b. Jika satuan baru berada di atas satuan asal ( menaiki tangga ), maka :
* Setiap naik satu tangga, bilangan asal dibagi 10
* Setiap naik dua tangga, bilangan asal dibagi 100
* Setiap naik tiga tangga, bilangan asal dibagi 1000, dan seterusnya
Contoh soal :
Ubahlah satuan berikut ini ?
10 km = …. cm ?
Perhatikan Tangga Konversi Satuan Panjang.
Dari km (kilometer) ke cm (centimeter), kita menuruni 5 anak tangga. Dengan demikian kita mengalikannya dengan 100.000 (5 nol). Jadi 10 km = 10 x 100000 = 1000.000 cm
7000 m = ….. km ?
Perhatikan Tangga Konversi Satuan Panjang.
Dari m (meter) ke km (kilometer), kita menaiki 3 anak tangga. Dengan demikian kita membaginya dengan 1000 (3 nol). Jadi 7000 km = 7000 : 1000 = 7 km
300 gr = ….. kg ?
Perhatikan Tangga Konversi Satuan massa.
Dari gr (gram) ke kg (kilogram), kita menaiki 3 anak tangga. Dengan demikian kita membaginya dengan 1000 (3 nol). Jadi 300 gr = 300 : 1000 = 0,3 kg
5 kg = …. mg ?
Perhatikan Tangga Konversi Satuan massa.
Dari kg (kilogram) ke mg (miligram), kita menuruni 6 anak tangga. Dengan demikian kita mengalikannya dengan 1.000.000 (6 nol). Jadi 5 kg = 5 x 1000.000 = 5.000.000 kg
FAKTOR KONVERSI
Selain mengkonversi satuan dalam sistem internasional, kita juga harus mengetahui konversi satuan dalam sistem yang berbeda, antara lain dari satuan Sistem Internasional ke Sistem British atau sebaliknya. Sebagai contoh, kita mengukur panjang sebuah meja dalam satuan inchi dan kita ingin menyatakannya dalam centimeter. Untuk itu kita perlu mengetahui faktor konversi. Faktor konversi dapat anda lihat pada tabel di bawah ini.
Pertama, Letakkan satuan asal yang akan dikonversi dan satuan baru yang akan dicari pada tangga sesuai dengan urutan tangga konversi
Kedua, Hitung jumlah langka yang harus ditempuh dari satuan asal ke satuan baru
a. Jika satuan baru berada di bawah satuan asal ( menuruni tangga ), maka :
* Setiap turun satu tangga, bilangan asal dikali 10
* Setiap turun dua tangga, bilangan asal dikali 10
* Setiap turun tiga tangga, bilangan asal dikali 1000, dan seterusnya
b. Jika satuan baru berada di atas satuan asal ( menaiki tangga ), maka :
* Setiap naik satu tangga, bilangan asal dibagi 10
* Setiap naik dua tangga, bilangan asal dibagi 100
* Setiap naik tiga tangga, bilangan asal dibagi 1000, dan seterusnya
Contoh soal :
Ubahlah satuan berikut ini ?
10 km = …. cm ?
Perhatikan Tangga Konversi Satuan Panjang.
Dari km (kilometer) ke cm (centimeter), kita menuruni 5 anak tangga. Dengan demikian kita mengalikannya dengan 100.000 (5 nol). Jadi 10 km = 10 x 100000 = 1000.000 cm
7000 m = ….. km ?
Perhatikan Tangga Konversi Satuan Panjang.
Dari m (meter) ke km (kilometer), kita menaiki 3 anak tangga. Dengan demikian kita membaginya dengan 1000 (3 nol). Jadi 7000 km = 7000 : 1000 = 7 km
300 gr = ….. kg ?
Perhatikan Tangga Konversi Satuan massa.
Dari gr (gram) ke kg (kilogram), kita menaiki 3 anak tangga. Dengan demikian kita membaginya dengan 1000 (3 nol). Jadi 300 gr = 300 : 1000 = 0,3 kg
5 kg = …. mg ?
Perhatikan Tangga Konversi Satuan massa.
Dari kg (kilogram) ke mg (miligram), kita menuruni 6 anak tangga. Dengan demikian kita mengalikannya dengan 1.000.000 (6 nol). Jadi 5 kg = 5 x 1000.000 = 5.000.000 kg
FAKTOR KONVERSI
Selain mengkonversi satuan dalam sistem internasional, kita juga harus mengetahui konversi satuan dalam sistem yang berbeda, antara lain dari satuan Sistem Internasional ke Sistem British atau sebaliknya. Sebagai contoh, kita mengukur panjang sebuah meja dalam satuan inchi dan kita ingin menyatakannya dalam centimeter. Untuk itu kita perlu mengetahui faktor konversi. Faktor konversi dapat anda lihat pada tabel di bawah ini.
Contoh Soal :
Ubahlah satuan panjang berikut ini :
15 inchi = ….. m ?
Perhatikan Faktor Konversi Panjang.
1 inchi = 2,54 cm. —– 1 cm = 0,01 m (lihat tangga konversi panjang)
Jadi, 15 inchi = 15 x 2,54 cm = 38,1 cm —— 38,1 cm = 38,1 x 0,01 m = 0,381 meter.
100 mil = …. cm ?
Perhatikan Faktor Konversi Panjang.
1 mil = 1,61 km. —– 1 km = 100.000 cm (lihat tangga konversi panjang)
Jadi, 100 mil = 100 x 1,61 km = 161 km —- 161 km = 161 x 100.000 cm
= 16.100.000 cm.
100 km = …. mil ?
Perhatikan Faktor Konversi Panjang.
1 km = 0,621 mil.
Jadi, 100 km = 100 x 0,621 mil = 62,1 mil.
Ubahlah satuan Kelajuan berikut ini :
(Catatan : Knot merupakan satuan kelajuan yang biasa digunakan Kapal Laut)
50 Knot = …. km/jam ?
50 Knot = …. km/jam ?
Perhatikan Faktor Konversi Panjang.
1 knot = 1,151 mil/jam —– 1 mil/jam = …. Km/jam ?
1 mil = 1,61 km (lihat Faktor Konversi Panjang)
Jadi, 1 mil/jam = 1,61 km/jam
50 Knot = 50 x 1,61 km/jam = 80,5 km/jam
Bab 3
Sekilas Tentang Logaritma Matematika
Jika n adalah logaritma dari a dengan bilangan pokok p, maka berlaku :
plog a = n <---> pn = a
Dengan catatan : a>0, p>0, dan p≠1
Setelah itu, barulah kita mempelajari sifat-sifat logaritma yang bisa kita terapkan di berbagai persoalan.
Sifat-sifat logaritma :
1. plog ( ab ) = plog a + plog b
2. alog an = n
3. plog (a/b) = plog a - plog b
4. plog 1 = 0
5. plog an = n . alog a
6. plog a . alog q = plog q
7. pnlog am = m/n plog a
8. plog p = 1
9. Pplog a = a
- Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok = 10.
[log 7 maksudnya 10log 7 ]
- lognx adalah cara penulisan untuk (logx)nBedakan dengan log xn = n log x
Contoh soal :
Jika 3log 4 = p dan 2log 5 = q maka nilai untuk 3log 5 ?
2log 5 = 22log 52 = 2 . 4log 5 = 4log 5 = | q q q 1/2 q |
3log 4 . 4log 5 = 3log 5
maka 3log 5 = 1/2 (pq)
Bab 4
Barisan dan Deret Aritmetika
Pada
pembelajaran matematika di kelas XII SMA ada sebuah BAB yang
mempelajari tentang BARISAN dan DERET. Semoga postingan ini dapat
membantu bagi teman-teman yang kesulitan memahami materinya.
U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta
Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1
Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
U1, U2, U3 ............., Un
Rumus Suku ke-n :
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n
- DERET ARITMATIKA
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-nJumlah n suku
Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)
Keterangan:
- Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")
- Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
- Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"
- Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst.
- Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n
- Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b
Bab 5
Penjelasan mengenai Barisan dan Deret Geometri
Pada
postingan sebelumnya terdapat pembahasan mengenai barisan dan deret
aritmatika, nah kali ini postingnya membahas tentang bagian lain dari
BAB Barisan dan Deret pada pembelajaran Matematika di kelas XII, semoga
posting ini dapat membantu bagi teman-teman yang kesulitan dalam
pembelajaran ini..
BARISAN GEOMETRI
Barisan
yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap ke
suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut rasio (pembanding)
dilambangkan dengan r. Jika suku pertama (U1) dinotasikan a dan rasio dinyatakan dengan r, maka suku-suku barisan geometri dapat dituliskan sebagai berikut: a, ar, ar2, ……, arn-1.
Sehingga suku ke-n suatu barisan geometri dirumuskan : Un= arn-1
Sedangkan jika Un dibagi dengan Un-1 didapat r,
sehingga diperoleh rumus untuk r :
Sedangkan jika Un dibagi dengan Un-1 didapat r,
sehingga diperoleh rumus untuk r :
DERET GEOMETRI
Jika pada barisan geometri tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret geometri.
Bentuk baku deret geometri adalah: a + ar + ar2 + …… + arn-1 . Jumlah n suku pertama deret geometri dinyatakan dengan Sn, dan dirumuskan:
Untuk deret geometri dengan -1< r <1 dikatakan bahwa deret tersebut konvergen atau mempunyai jumlah sampai tak hingga suku.
Jumlah takhingga dilambangkan dengan S ~ dan dirumuskan :
DERET GEOMETRI TAK BERHINGGADeret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
U1 + U2 + U3 + .............................. ¥ å Un = a + ar + ar² ......................... n=1 dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rn ® 0 Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :Jumlah tak berhingga S¥ = a/(1-r)Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1 Catatan: a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + .................Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil a+ar2 +ar4+ ....... Sganjil = a / (1-r²)Jumlah suku-suku pada kedudukan genap a + ar3 + ar5 + ...... Sgenap = ar / 1 -r² Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r
PENGGUNAAN
Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)
M0, M1, M2, ............., Mn
M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0
M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0
.
. . .
Mn =M0 + P/100 (n) M0 ® Mn = {1 + P/100 (n) } M0
Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)
M0, M1, M2, .........., Mn
M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0
M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0 = (1 + P/100)² M0.
. .
Mn = {1 + P/100}n M0
Keterangan :
M0 = Modal awalMn = Modal setelah n periodep = Persen per periode atau suku bungan = Banyaknya periode
Catatan:
Rumus
bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman,
perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin,
peluruhan bahan radio aktif (p < 0).
LATIHAN SOAL
1. Tentukan suku yang diminta dari barisan :
a) 1,3,9,..... suku ke-7
b) 3,6,12,....suku ke-8
c) 16,8,4, ... suku ke-10
|
2. Tentukan rasio dan suku ke-5 dari barisan geometri jika diketahui sebagai berikut:
- U1 = 2, U3 = 8
- U1 = 4U3, U4 = ¼
- U1 = 36, U2 = –12
- U1.U5 = 16, U2 + U4 = 10
- U1 + U6 = 244, U3.U4 = 243
3. Carilah nilai x jika barisan berikut adalah barisan geometri.
- x + 1, x – 1, dan x – 5
- 2x, x2 dan 8x
- 4 + x, 3 + 3x dan 1 + 7x
- x – 1, 2x – 8 dan 5 – x
- 2x – 5, x – 4 dan 10 – 3x
4. Diketahui
barisan geometri : 1, 9, 81, ……. Diantara tiap dua suku berurutan
disisipkan sebuah suku sehingga terbentuk barisan geometri baru.
Tentukan rasio dan suku ke-7 barisan geometri baru.
5. Suatu modal sebesar M rupiah ditabung di Bank dan mendapatkan bunga majemuk p% setiap tahun. Tentukan modal setelah n tahun.
6. Sebuah mobil harganya Rp. 300.000.000,- setiap tahun harga mobil itu menyusut 10% dari harga tahun sebelumnya.
- hitunglah harga mobil pada akhir tahun ke-1, 2, 3, dan 4.
- Jika setelah n tahun harga mobil itu adalah Tn, tunjukkan bahwa Tn = Rp. 300.000.000,- x (0,9)n
7. Pada sebuah deret geometri dibutuhkan U1 + U2 = 4, Un–1 + Un = 108 dan Sn = 121. tentukan a dan r
8. Diketahui bahwa jumlah n suku suatu deret adalah Sn = 3(2n – 1) - Buktikan bahwa deret itu adalah deret geometri
- Tentukan suku pertama, rasio dan suku ke-10
- Carilah n terkecil agar jumlah n suku pertamanya lebih besar dari 104
pertahun. Hitunglah seluruh uang tersebut pada akhir tahun ketujuh.
10. x1 dan x2 adalah akar-akar bulat dari persamaan x2 – (2k + 4)x + (3k + 4) = 0. Jika x1, k dan x2 merupakan tiga suku pertama barisan geometri. Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut.
11. Diantara
setiap dua suku berurutan pada deret geometri 7 + 28 + 112 + …… sampai 6
suku disisipkan sebuah suku sehingga diperoleh deret geometri baru.
Hitunglah jumlah suku-suku yang disisipkan.
Bab 6
Penjelasan Rumus Phytagoras
Tahu kan rumus yang satu ini, itu loh, rumus untuk mencari nilai dari panjang sisi sebuah segitiga. Bagi yang belum mengerti berikut penjelasannya.
Rumus asli phytagoras
Dari gambar diatas, kita buktikan kebenarannya, di mulai dengan membuat gambar sebuah persegi besar, kemudian gambarlah sebuah persegi kecil di dalam persegi besar tersebut, seperti gambar berikut:
Perhitungan Phytagoras :
Luas persegi besar = Luas persegi kecil + 4 Luas segitiga
( b + a ) . ( b + a ) = c . c + 4 . 1/2 b.a
Luas persegi besar = Luas persegi kecil + 4 Luas segitiga
( b + a ) . ( b + a ) = c . c + 4 . 1/2 b.a
b2 + 2 b.a + a2 = c2 + 2 b.a
b 2 + a2 = c2 + 2 b.a - 2 b.a
b 2 + a2 = c2
Berdasarkan Rumus Phytagoras tersebut terbukti bahwa sisi miring sebuah segitiga siku - siku adalah akar dari jumlah kuadrat sisi - sisi yang lain.
Berikut cara penggunaannya.:
Apabila kita mencari Sisi Miring ( C ) Rumus = a² + b² = n,, n= akar n = hasil nya
Tidak Susah Kan???
Tidak Susah Kan???
Kalau
Kalian Ingin Mencari sisi Alas( A ) Rumus = b² - c²=n,, n= akar n =
hasil nya(apabila B panjang nya lebih panjang berarti di kurangi c.nah C
Lebih Besar Juga sebaliknya)
kalau mencari tinggi (b) Sama seperti mencari Alas.Tetapi kalau Ini B nnya Di ganti Dengan A.
Mari Kita Pakai Soal Agar Lebih Mengerti
Soal :
Sisi A= 20 cm Sisi b= 15 cm Sisi c=n?
berapakah Sisi C.
Cara Mencari nya seperti Di atas.masih Inget kan?
Jawab :
:: 20² + 15² = 400 + 225 = 625 .. Akar Dari 625= 25 Jadi Sisi c Samadengan = 25
berapakah Sisi C.
Cara Mencari nya seperti Di atas.masih Inget kan?
Jawab :
:: 20² + 15² = 400 + 225 = 625 .. Akar Dari 625= 25 Jadi Sisi c Samadengan = 25
Soal :
Kalau Sisi B= 25 cm Sisi C= 15 cm A= N??
Jawab :
:: 25² - 15² = 625 - 225 = 400 .. akar dari 400 = 20 cm Jadi sisi B 20 cm(apabila Mencari Yang sisi A sama seperti B)
Mudah bukan, selamat mencoba.. Kalau Sisi B= 25 cm Sisi C= 15 cm A= N??
Jawab :
:: 25² - 15² = 625 - 225 = 400 .. akar dari 400 = 20 cm Jadi sisi B 20 cm(apabila Mencari Yang sisi A sama seperti B)
Bab 7
Rumus Luas dan Volume Bangun Kerucut
Dalam matematika, kita akan mempelajari tentang bangun ruang. Kali ini kami akan membahas tentang rumus bangun kerucut.
Dalam geometri, kerucut adalah sebuah limas istimewa yang beralas lingkaran. Kerucut memiliki 2 sisi dan 1 rusuk.
Sisi tegak kerucut tidak berupa segitiga tapi berupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut.
Unsur-unsur Kerucut:
Kerucut memiliki 1 titik sudut, 1 rusuk dan 2 sisi .
Kerucut memiliki 1 titik sudut, 1 rusuk dan 2 sisi .
Luas dan volume kerucut
• Luas permukaan kerucut atau luas kerucut :
L = luas sisi alas + luas selimut kerucut
= π r2 + π r s
= π r (r + s)
•Volume kerucut :
V = 1/3 x luas alas x tinggi
= 1/3 x π r2 x t
= 1/3 π r2t
Bab 8
Rumus Matematika Peluang
Di
pembelajaran Matematika kelas XII kita akan mempelajari bab yang
berisikan materi peluang, semoga posting ini dapat bermanfaat bagi
teman-teman pelajar.
Peluang Matematika
1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.
Contoh:2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :
Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3
3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.
4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).
Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :
Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah
5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :
Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).
Peluang Kejadian Majemuk
1. Gabungan Dua Kejadian Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :
Catatan : dibaca “ Kejadian A atau B dan dibaca “Kejadian A dan B”
Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :
2. Kejadian-kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian berlaku Jika . Sehingga Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.
3. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika adalah peluang terjadinya A dan B, maka Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.
4. Teorema Bayes
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :
5. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:
Sebaran Peluang
1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang. Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap dan setiap maka:
Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :
2. Sebaran Binom
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :
Dengan P sebagai parameter dan
Rumus ini dinyatakan sebagai:
untuk n = 0, 1, 2, .... ,n
Dengan P sebagai parameter dan
P = Peluang sukses
n = Banyak percobaan
x = Muncul sukses
n-x = Muncul gagal
Bab 9
Rumus Matematika Untuk Mean, Median dan
Modus dan contoh soalnya.
Di pembelajaran MATEMATIKA kelas XI, kita akan mempelajari bab
statistik, di posting kali ini, akan dijelaskan mengenai Rumus Matematika untuk
MEAN, MODUS, MEDIAN dan beberapan bagian yang lainnya. Penjellasannya sebagai berikut:
1. Rumus Rataan Hitung (Mean)
Rata-rata hitung atau mean memiliki perhitungan dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung disebut dengan mean.
a) Rumus Mean dari Data Tunggal
Rata-rata hitung atau mean memiliki perhitungan dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung disebut dengan mean.
a) Rumus Mean dari Data Tunggal
b) Rumus Mean Untuk Data yang Disajikan Dalam Distribusi Frekuensi.
Dengan : fixi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian
xi = data ke-i
c) Rumus Mean Gabungan
2. Rumus Modus
a. Data yang belum dikelompokkan
Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan mo.
b. Data yang telah dikelompokkan
Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus:
Dengan : Mo = Modus
L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i = Interval kelas
b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnya
3. Rumus Median (Nilai Tengah)
a) Data yang belum dikelompokkan
Untuk mencari nilai median, data harus dikelompokan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar.
a) Data yang belum dikelompokkan
Untuk mencari nilai median, data harus dikelompokan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar.
b) Rumus Data yang Dikelompokkan
Dengan : Qj = Kuartil ke-j
j = 1, 2, 3
i = Interval kelas
Lj = Tepi bawah kelas Qj
fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qj
f = Frekuensi kelas Qj
n = Banyak data
4. Rumus Jangkauan ( J )
Rumus jangkauan yaitu selisih antara nilai data terbesar dengan nilai data terkecil.
Rumus jangkauan yaitu selisih antara nilai data terbesar dengan nilai data terkecil.
5. Rumus Simpangan Quartil (Qd)
Rumus simpangan quartil
yaitu:
6. Rumus
Simpangan baku ( S )
Menentukan rumus simpangan baku yaitu dengan
cara:
7. Rumus
Simpangan rata – rata (SR)
8. Rumus Ragam (R)
Contoh soal statistika
Tabel 1.1 dibawah ini:
Tabel 1.1 dibawah ini:
Jawab :
Contoh soal sederhana:
Berikut ini terdapat data nilai matematika siswa kls VII.A,
andi 85
audi 90
dessy 75
fany 68
hariz 70
joko 80
sinta 75
umaima 74
zeckry 82
Tentukan nilai mean, median, dan modus dari data tersebut.?
Penyelesaian:
urutkan data-data tersebut terlebih dahulu berdasarkan nilai dari terendah hingga teritnggi,
68
70
74
75
75
80
82
85
90
diketahui jmlh anak (n)= 9 org, maka
jumlah nilai= 68+70+74+75+75+80+82+85+90= 699
Mean= 699/9 = 77,667
Jadi, nilai rata-rata siswa kls VII.A untuk pelajaran matematika = 77,667
Median= nilai tengah dari kelompok data tersebut adalah nilai 75
Modus= terdapat 2 nilai 75 dalam kelompok data, sehingga modus= 75
Berikut ini terdapat data nilai matematika siswa kls VII.A,
andi 85
audi 90
dessy 75
fany 68
hariz 70
joko 80
sinta 75
umaima 74
zeckry 82
Tentukan nilai mean, median, dan modus dari data tersebut.?
Penyelesaian:
urutkan data-data tersebut terlebih dahulu berdasarkan nilai dari terendah hingga teritnggi,
68
70
74
75
75
80
82
85
90
diketahui jmlh anak (n)= 9 org, maka
jumlah nilai= 68+70+74+75+75+80+82+85+90= 699
Mean= 699/9 = 77,667
Jadi, nilai rata-rata siswa kls VII.A untuk pelajaran matematika = 77,667
Median= nilai tengah dari kelompok data tersebut adalah nilai 75
Modus= terdapat 2 nilai 75 dalam kelompok data, sehingga modus= 75
Cukup mudah bukan materi tentang mean, median dan modus, bagaimaba pendapat kamu?
Jangan lupa untuk membaca materi matematika lainnya.
Jangan lupa untuk membaca materi matematika lainnya.
Bab 10
Operasi Penjumlahan dan Perasionalan Pada Pecahan
Masih ingat bentuk berikut :
32 = 3 x 3
23 = 2 x 2 x 2
56 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.
32 = 3 x 3
23 = 2 x 2 x 2
56 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.
Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.
Sifat 1
an x an = am + n
24 x 23 = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
= 27
= 24+3
an x an = am + n
24 x 23 = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
= 27
= 24+3
Sifat 2
am : an = am - n, m > n
55 : 53 = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
= 5 x 5
= 52
= 55 - 3
am : an = am - n, m > n
55 : 53 = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
= 5 x 5
= 52
= 55 - 3
Sifat 3
(am)n = am x n
(34)2 = 34 x 34
= (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
= (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
= 38
= 34 x 2
(am)n = am x n
(34)2 = 34 x 34
= (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
= (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
= 38
= 34 x 2
Sifat 4
(a x b)m = am x bm
(4 x 2)3 = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
= (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
= 43 x 23
(a x b)m = am x bm
(4 x 2)3 = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
= (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
= 43 x 23
Sifat 5
(a : b)m = am : bm
(6 : 3) 4 = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
= (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
= 64 : 34
(a : b)m = am : bm
(6 : 3) 4 = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
= (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
= 64 : 34
Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif
Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 20 = 1 dan 2-n = 1/2n , secara umum dapat ditulis :
Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.
Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.
Contoh:
Tentukan hasil berikut ini!
Tentukan hasil berikut ini!
Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan
Bilangan Rasional dan Irasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan
a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan
dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah
-5, -1/2, 0, 3, 3/4, dan 5/9.
Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya
√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.
Bentuk Akar
Berdasarkan
pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 .
Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan
contoh yang lain?
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.
Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
√a2 = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0
√a2 = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3
Sederhanakan bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3
Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya
Bentuk
√a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat
dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a.
oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar
kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar n√am dapat ditulis am/n(dibaca: a pangkat m per n). Bentuk am/n disebut bentuk pangkat pecahan.
jawab :
Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
Penjumlahan dan Pengurangan
kesimpulan :
jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku
jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku
a√b + c√b = (a + c)√b
a√b - c√b = (a - c)√b
Perkalian dan Pembagian
Contoh :
Tentukan hasil operasi berikut :
Tentukan hasil operasi berikut :
jawab :
Perpangkatan
Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.
Contoh:
Contoh:
Operasi Campuran
Dengan
memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih
mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya.
Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung
berikut.
- Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
- Jika tidak ada tanda kurungnya maka
- pangkat dan akar sama kuat;
- kali dan bagi sama kuat;
- tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
- kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.
Contoh :
Merasionalkan Penyebut
Agar
nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus
dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada
penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan
dirasionalkan berturut-turut adalah
Merasionalkan
penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional
menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.
Penyebut Berbentuk √b
Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan a/√b dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan √b/√b .
Contoh :
Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!
Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!
jawab :
Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)
Jika
pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka
pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang
dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b)
adalah dan sebaliknya.
Bukti
Bukti
Contoh :
Rasionalkan penyebut pecahan berikut.
jawab :
Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)
Pecahan
tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan
penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut.
Contoh:
Selesaikan soal berikut!
Jawab :
Referensi
- Tiga Serangkai
- http://bebas.vlsm.orgMasih ingat bentuk berikut :
32 = 3 x 3
23 = 2 x 2 x 2
56 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.
Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.
Sifat 1
an x an = am + n
24 x 23 = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
= 27
= 24+3
Sifat 2
am : an = am - n, m > n
55 : 53 = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
= 5 x 5
= 52
= 55 - 3
Sifat 3
(am)n = am x n
(34)2 = 34 x 34
= (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
= (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
= 38
= 34 x 2
Sifat 4
(a x b)m = am x bm
(4 x 2)3 = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
= (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
= 43 x 23
Sifat 5
(a : b)m = am : bm
(6 : 3) 4 = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
= (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
= 64 : 34
Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif
Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 20 = 1 dan 2-n = 1/2n , secara umum dapat ditulis :
Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.
Contoh:
Tentukan hasil berikut ini!
Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan
Bilangan Rasional dan Irasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, -1/2, 0, 3, 3/4, dan 5/9.
Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya
√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.
Bentuk Akar
Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain?
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.
Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
√a2 = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3
Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya
Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar n√am dapat ditulis am/n(dibaca: a pangkat m per n). Bentuk am/n disebut bentuk pangkat pecahan.
jawab :
Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
Penjumlahan dan Pengurangan
kesimpulan :
jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku
a√b + c√b = (a + c)√b
a√b - c√b = (a - c)√b
Perkalian dan Pembagian
Contoh :
Tentukan hasil operasi berikut :
jawab :
Perpangkatan
Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.
Contoh:
Operasi Campuran
Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.
- Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
- Jika tidak ada tanda kurungnya maka
- pangkat dan akar sama kuat;
- kali dan bagi sama kuat;
- tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
- kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.
Contoh :
Merasionalkan Penyebut
Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah
Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.
Penyebut Berbentuk √b
Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan a/√b dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan √b/√b .
Contoh :
Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!
jawab :
Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)
Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b) adalah dan sebaliknya.
Bukti
Contoh :
Rasionalkan penyebut pecahan berikut.
jawab :
Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)
Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut.
Contoh:
Selesaikan soal berikut!
Jawab :
Bab 11Permutasi Siklis dan Contoh Soalnya
Posting kali ini akan membahas tentang Permutasi Siklis atau dengan kata lain Susunan Melingkar dikarenakan permutasi ini dilakukan dengan membuat susunan yang dipadu secara melingkar. Sebelumnya sudah kami terbitkan posting tentang Permutasi dan Kombinasi. Bedanya, posting kali ini membahas tentang bagian dari Permutasi yaitu Permutasi Siklis.
PERMUTASI SIKLIS ( SUSUNAN MELINGKAR )
Permutasi siklis berkaitan dengan penyusunan sederetan objek yang melingkar. Sebagai contoh adalah susunan duduk dari beberapa orang pada meja bundar. Permutasi ini juga dikenal dengan permutasi melingkar.
A. RUMUS
Bagaimana menentukan rumus permutasi siklik ?
Perhatikan contoh berikut :
Tentukan susunan yang dapat terjadi jika :
o Ada 2 orang A1, A2 didudukkan dalam meja bundar ?
o Ada 3 orang A1, A2, A3 didudukkan dalam meja bundar ?
o Ada 4 orang A1, A2, A3, A4 didudukkan dalam meja bundar ?
o Ada n orang A1, A2, A3, . . . . .,An didudukkan dalam meja bundar ?
Jawab :
Susunan pengaturan duduk pada 2 orang ada 1 yaitu
o A1, A2
Susunan pengaturan duduk pada 3 orang ada 2 yaitu
o A1, A2, A3 dan
o A1, A3, A2
Susunan pengaturan duduk pada 4 orang ada 6 yaitu
o A1, A2 , A3 , A4
o A1, A2 , A4 , A3
o A1, A3 , A2 , A4
o A1, A3 , A4 , A2
o A1, A4 , A2 , A3
o A1, A4 , A3 , A2
Tampak di sini bahwa A1 sebagai patokan diletakkan di urutan paling depan, sedangkan urutan selanjutnya adalah permutasi dari (A2 , A3 , A4) = 3! =6
Susunan pengaturan duduk pada n orang yaitu....?
Dengan penalaran yang sama dengan diatas maka A1 dinyatakan sebagai patokan yang ditulis pada urutan terdepan, sedangkan urutan berikutnya(A2 , A3 , A4 ,……,An) yang memiliki (n-1) anggota sehingga jika dipermutasikan terdapat (n-1) ! macam permutasi yang berbeda
Dengan demikian banyak permutasi siklik yang beranggotakan n adalah (n-1) !
Jika masih belum paham, berikut kami sajikan Contoh Soalnya:
Contoh Soal:
Sebanyak 6 orang anggota DPR, mengadakan rapat. Mereka duduk menghadap sebuah meja bundar (seperti Konferensi Meja Bundar saja, hehehhe) Berapa banyak cara mereka dapat menempati kursi yang disusun melingkar tersebut.
Jawab:
Soal ini tergolong mudah, kita tinggal memasukkannya pada rumus umum Permutasi Siklis di atas. Dengan nilai n = 6.
Psiklis = (n-1)!
Psiklis = (6 - 1)!
= 5 !
= 120 cara
Jadi, terdapat sebanyak 120 cara membagi temapat duduk untuk keenam orang tersebut..Bagaimana, mudah bukan. Semoga bermanfaat bagi teman-teman.
Bab 12Modus Ponens, Modus Tollens dan Contohnya
Pembelajaran tentang modus ponens, modus tollens kali ini akan kita dapat di kleas X SMA, kalau tidak salah judul babnya adalah Logoika Matematika. Terdapat 3 penarikan kesimpulan yang sah untuk tiap persoalan logika matematika yaitu sebagai berikut:model 1:
Diketahui premis-premis berikut.
premis (1) : p —> q
premis (2) : p
kesimpulan : q
pola penarikan kesimpulan argumentasi di atas adalah modus ponens.Arti Modus Ponens adalah “jika diketahui p → q dan p, maka bisa ditarik kesimpulan q“.model 2:
Diketahui premis-premis berikut.
premis (1) : p —> q
premis (2) : -q
kesimpulan : -p
pola penarikan kesimpulan argumentasi di atas adalah modus tolens.Sedangkan Modus Tollens berarti “jika diketahu p → q dan ¬q, maka bisa ditarik kesimpulan ¬p“.model 3:
Diketahui premis-premis berikut.
premis (1) : p —> q
premis (2) : q —> r
kesimpulan : p —> r
pola penarikan kesimpulan argumentasi di atas adalah silogisme.Berikut adalah contoh soal yang masuk dalam Ujian Nasioanl tahun 2006/2007:Diketahui pernyataan:1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung3. Ani tidak memakai payungKesimpulan yang sah adalaha. hari panasb. hari tidak panasc. Ani memakai topid. hari panas dan Ani memakai topie. hari tidak panas dan ani memakai topiPenyelesaian untuk kasus tersebut adalah seb agai berikut:p = hari panasq = Ani memakai topir = Ani pakai payingp q~q ᶸ r~r~pUntuk pembuktian dengan percobaan Benar dan Salah, kasus ini terbukti tautology. Sehingga jawaban yang mungkian adalah B. hari tidak panas ( ~p)Semoga materi tentang modus ponens, modus tollens kali ini dapat membantu, jangan lupa untuk membaca materi matematika lainnya.Bab 13Rumus Luas dan Keliling Persegi, Segitiga dan Lingkaran
Rumus Luas dan Keliling Persegi, Segitiga dan Lingkaran - Kali ini postingannya mengenai matematika lagi nih sobat, Yaitu bagian dari rumus-rumus beberapa bangun datar, seperti Persegi, Persegi Panjang dan Segitiga. Ada juga postingan terdahulu mengenai Luas dan Volume bangun Kerucut.
Rumus Persegi
Keliling : 4 x Sisi
contoh : Sisi = 5 cm2
Keliling = 4 x 5
= 20 cm
Luas : Sisi x Sisi
Contoh Soal:
Diketahui sisi = 5 cm
Maka luas = 5 x 5
= 25 cm2
Keliling : 2 x (Panjang + Lebar)
Contoh soal:
Diketahui panjang = 6 cm
Lebar = 4 cm
Keliling = 2 x (6 + 4)
= 20 cm
Luas : Panjang x Lebar
Contoh soal:
Diketahuui panjang = 7 cm
lebar = 4 cm
Luas = 7 x 4
= 28 cm2
Rumus SegitigaKeliling : AB + AC + BC
AB = 7 cm
AC = 10 cm
BC = 5 cm
Kelililng : 7 + 10 + 5
= 22 cm
Luas Segitiga : 1/2 x alas (BC) x tinggi AB
1/2 x 6 x 8
= 24 cm2
Rumus Lingkaran
Keliling lingkaran :22/7 x diameter atau 2 x 22/7 x jari jaridiameter =28 cm
contoh soal:
jari jari = 2 x diameter = 28 : 2 = 14 cm
Keliling : 22/7 x 28 = 88 cm
Luas lingkaran : (22/7 atau 3,14) x jari jari (r)
= 22/7 x 14 x 14
= 44 x14
= 616 cm2
☺☺ Selamat Belajar ☺ ☺