Belajar Itu Asikk ☺

Jumat, 14 Agustus 2015

PENGERTIAN DASAR MANAJEMEN

Pengertian Dasar Manajemen

Pengertian Manajemen (Definition of Management)
Kata Manajemen berasal dari bahasa Prancis kuno ménagement, yang memiliki arti seni melaksanakan dan mengatur. Manajemen belum memiliki definisi yang mapan dan diterima secara universal. Kata manajemen mungkin berasal dari bahasa Italia (1561) maneggiare yang berarti “mengendalikan,” terutamanya “mengendalikan kuda” yang berasal dari bahasa latinmanus yang berati “tangan”. Kata ini mendapat pengaruh dari bahasa Perancis manège yang berarti “kepemilikan kuda” (yang berasal dari Bahasa Inggris yang berarti seni mengendalikan kuda), dimana istilah Inggris ini juga berasal dari bahasa Italia.[1] Bahasa Prancis lalu mengadopsi kata ini dari bahasa Inggris menjadi ménagement, yang memiliki arti seni melaksanakan dan mengatur.
 
 
Definisi Manajemen menurut Para Ahli 
 1.  Menurut Dr. SP. SIAGIAN dalam buku  “FILSAFAT ADMINISTRASI” MANAGEMENT DAPAT DIDEFINISIKAN SEBAGAI “KEMAMPUAN ATAU KETERAMPILAN UNTUK MEMPEROLEH SUATU HASIL DALAM RANGKA PENCAPAIAN TUJUAN MELALUI ORANG LAIN”.
DENGAN DEMIKIAN DAPAT PULA DIKATAKAN BAHWA MANAGEMENT MERUPAKAN INTI DARIPADA ADMINISTRASI KARENA MEMANG MANAGEMENT MERUPAKAN ALAT PELAKSANA UTAMA DARIPADA ADMINSITRASI
2. Menurut Prof. Dr. H. ARIFIN ABDULRACHMAN dalam buku “KERANGKA POKOK-POKOK MANAGEMENT” DAPAT DIARTIKAN :
a. KEGIATAN-KEGIATAN/AKTIVITAS-AKTIVITAS;
b. PROSES,  YAKNI KEGIATAN  DALAM  RENTETAN  URUTAN- URUTAN;
c. INSITUT/ ORANG – ORANG YANG MELAKUKAN KEGIATAN ATAU PROSES KEGIATAN
3. Menurut ORDWAY TEAD yang disadur oleh DRS. HE. ROSYIDI dalam buku “ORGANISASI DAN MANAGEMENT“, definisi Manajemen adalah “PROSES DAN KEGIATAN PELAKSANAAN USAHA MEMIMPIN DAN MENUNJUKAN ARAH PENYELENGGARAAN TUGAS SUATU ORGANISASI DI DALAM MEWUJUDKAN TUJUAN YANG TELAH DITETAPKAN “.
4. Menurut “Marry Parker Follet” :
MANAJEMEN SEBAGAI SENI DALAM MENYELESAIKAN PEKERJAAN MELALUI ORANG LAIN”.
5.  Menurut James A.F. Stonner :
MANAJEMEN ADALAH PROSES PERENCANAAN, PENGORGANISASIAN, PENGARAHAN DANPENGAWASAN USAHA-USAHA PARA ANGGOTA ORGANISASI DAN PENGGUNAAN SUMBER-SUMBER DAYA ORGANISASI LAINNYA AGAR MENCAPAI TUJUAN ORGANISASI YANG DITETAPKAN”.
 
Manajemen sebagai suatu seni (Art) dan sebagai suatu ilmu pengetahuan (Science)
manajemen adalah seni (Art) atau suatu ilmu pnegetahuan. Mengenai inipun sesungguhnya belum ada keseragaman pendapat, segolongan mengatakan bahwa manajemen adalah seni dan segolongan yang lain mengatakan bahwa manajemen adalah ilmu. Sesungguhnya kedua pendapat itu sama mengandung kebenarannya.
 

TINGKATAN MANAJEMEN
1.HIGH LEVEL (tingkat tinggi)
Contoh halnya dirut dan wakilnya. Bertanggung jawab pengolahan terhadap organisasi secara keseluruhan. Membuat rencana jangka panjang, merumuskan strategi, menetapkan kebijaksanaan, dan menetapkan interaksi / hubungan organisasi dengan lingkungan luar. Tingkatan yang mempunyai tanggung-jawab penuh terhadap jalannya perusahaan. Dan biasanya pada tingkatan ini membuat keputusan yang tidak terprogram, yaitu keputusan yang tidak selalu terjadi.
2. MIDDEL LEVEL (tingkat menengah)
Salah satu contohnya seperti kepala bagian / divisi. Pengendali manajemen dalam suatu organisasi. Bertanggung-jawab atas ruang lingkupnya, wilayah, divisi dll. Merumuskan rencana jangka menengah, melakukan pengendalian, membuat prosedur, dan membuat keputusan berdasarkan lingkup tanggung-jawabnya. Sebagai pengendali dalam arti mengawasi dan meyakini bahwa organisasi menjalankan strategic yang sudah ditetapkan secara baik, efektif dan se’efisien mungkin.
3. LOW LEVEL (tingkat bawah)
Seperti supervisor atau mandor. Yaitu pengendali dalam jalannya operasional. Bertanggung jawab atas pelaksanaan dan sasaran operasional. Membuat keputusan jangka pendek dan mengendalikan transaksi sehari-hari. Biasanya keputusan yang diambil yaitu keputusan yang terprogram, keputusan yang sering terjadi dan rutin.
 
 
 
fungsi-fungsi manajemen adalah :
Perencanaan (Planning)
Kegiatan seorang manajer adalah menyusun rencana. Menyusun rencana berarti memikirkan apa yang akan dikerjakan dengan sumber yang dimiliki. Agar dapat membuat rencana secara teratur dan logis, sebelumnya harus ada keputusan terlebih dahulu sebagai petunjuk langkah-langkah selanjutnya.
Pengorganisian (Organizing)
Pengorganisasian atau organizing berarti menciptakan suatu struktur dengan bagian-bagian yang terintegrasi sedemikian rupa sehingga hubungan antarbagian-bagian satu sama lain dipengaruhi oleh hubungan mereka dengan keseluruhan struktur tersebut.
Pengorganisasian bertujuan membagi suatu kegiatan besar menjadi kegiatan-kegiatan yang lebih kecil. Selain itu, mempermudah manajer dalam melakukan pengawasan dan menentukan orang yang dibutuhkan untuk melaksanakan tugas-tugas yang telah dibagi-bagi tersebut.
Menggerakkan (Actuating)
Menggerakkan atau Actuating adalah suatu tindakan untuk mengusahakan agar semua anggota kelompok berusaha untuk mencapai sasaran sesuai dengan perencanaan manajerial dan usaha-usaha organisasi. Jadi actuating artinya adalah menggerakkan orang-orang agar mau bekerja dengan sendirinya atau penuh kesadaran secara bersama-sama untuk mencapai tujuan yang dikehendaki secara efektif. Dalam hal ini yang dibutuhkan adalah kepemimpinan (leadership).
Pengawasan (Controling)
Pengawasan merupakan tindakan seorang manajer untuk menilai dan mengendalikan jalannya suatu kegiatan yang mengarah demi tercapainya tujuan yang telah ditetapkan.
 
 

Keterampilan manajer

 
Gambar ini menunjukan keterampilan yang dibutuhkan manajer pada setiap tingkatannya.
Robert L. Katz pada tahun 1970-an mengemukakan bahwa setiap manajer membutuhkan minimal tiga keterampilan dasar. Ketiga keterampilan tersebut adalah:
  1. Keterampilan konseptual (conceptional skill)
    Manajer tingkat atas (top manager) harus memiliki keterampilan untuk membuat konsep, ide, dan gagasan demi kemajuan organisasi. Gagasan atau ide serta konsep tersebut kemudian haruslah dijabarkan menjadi suatu rencana kegiatan untuk mewujudkan gagasan atau konsepnya itu. Proses penjabaran ide menjadi suatu rencana kerja yang kongkret itu biasanya disebut sebagai proses perencanaan atau planning. Oleh karena itu, keterampilan konsepsional juga meruipakan keterampilan untuk membuatrencana kerja.
  2. Keterampilan berhubungan dengan orang lain (humanity skill)
    Selain kemampuan konsepsional, manajer juga perlu dilengkapi dengan keterampilan berkomunikasi atau keterampilan berhubungan dengan orang lain, yang disebut juga keterampilan kemanusiaan. Komunikasi yang persuasif harus selalu diciptakan oleh manajer terhadap bawahan yang dipimpinnya. Dengan komunikasi yang persuasif, bersahabat, dan kebapakan akan membuat karyawan merasa dihargai dan kemudian mereka akan bersikap terbuka kepada atasan. Keterampilan berkomunikasi diperlukan, baik pada tingkatan manajemen atas, menengah, maupun bawah.
  3. Keterampilan teknis (technical skill)
    Keterampilan ini pada umumnya merupakan bekal bagi manajer pada tingkat yang lebih rendah. Keterampilan teknis ini merupakan kemampuan untuk menjalankan suatu pekerjaan tertentu, misalnya menggunakan program komputer, memperbaiki mesin, membuat kursi, akuntansi dan lain-lain.
Selain tiga keterampilan dasar di atas, Ricky W. Griffin menambahkan dua keterampilan dasar yang perlu dimiliki manajer, yaitu:
  1. Keterampilan manajemen waktu
    Merupakan keterampilan yang merujuk pada kemampuan seorang manajer untuk menggunakan waktu yang dimilikinya secara bijaksana. Griffin mengajukan contoh kasus Lew Frankfort dari Coach. Pada tahun 2004, sebagai manajer, Frankfort digaji $2.000.000 per tahun. Jika diasumsikan bahwa ia bekerja selama 50 jam per minggu dengan waktu cuti 2 minggu, maka gaji Frankfort setiap jamnya adalah $800 per jam—sekitar $13 per menit. Dari sana dapat kita lihat bahwa setiap menit yang terbuang akan sangat merugikan perusahaan. Kebanyakan manajer, tentu saja, memiliki gaji yang jauh lebih kecil dari Frankfort. Namun demikian, waktu yang mereka miliki tetap merupakan aset berharga, dan menyianyiakannya berarti membuang-buang uang dan mengurangi produktivitas perusahaan.
  2. Keterampilan membuat keputusan
    Merupakan kemampuan untuk mendefinisikan masalah dan menentukan cara terbaik dalam memecahkannya. Kemampuan membuat keputusan adalah yang paling utama bagi seorang manajer, terutama bagi kelompok manajer atas (top manager). Griffin mengajukan tiga langkah dalam pembuatan keputusan. Pertama, seorang manajer harus mendefinisikan masalah dan mencari berbagai alternatif yang dapat diambil untuk menyelesaikannya. Kedua, manajer harus mengevaluasi setiap alternatif yang ada dan memilih sebuah alternatif yang dianggap paling baik. Dan terakhir, manajer harus mengimplementasikan alternatif yang telah ia pilih serta mengawasi dan mengevaluasinya agar tetap berada di jalur yang benar.
 
TEORI EVOLUSI MANAJEMEN
  
Perkembangan teori manajemen pada saat ini telah berkembang dengan pesat. Tapi sampai detik ini pula Belum ada suatu teori yang bersifat umum ataupun berupa kumpulan-kumpulan hukum bagi manajemen yang dapat diterapkan dalam berbagai situasi dan kondisi. Para manajemen banyak mengalami dan menjumpai pandangan-pandangan berbeda tentang manajemen, yang berbeda adalah dalam penerapannya. Dimana setiap pandangan hanya dapat diterapkan dalam berbagai masalah yang berbeda pula, sedangkan untuk masalah-masalah yang sama belum tentu dapat diterapkan.
Ada tiga teori pemikiran manajemen yaitu :
 
Teori manajemen klasik
Ilmu manajemen muncul setelah negara-negara Eropa Barat dan Amerika dilanda revolusi industri, yang terjadi sekitar awal abad ke-20 yaitu mulai ditinggalkannya prinsip-prinsip lama yang sudah tidak efektif dan efisien lagi. Ada dua tokoh yang mengawali munculnya manajemen, yaitu :
1.   Robert Owen ( 1971 – 1858 )
Dimulai pada tahun 1800-an sebagai manager pabrik permintalan kapas di New Lanark, Scotlandia. Robert Owen mencurahkan perhatiaannya pada penggunaan faktor produksi produksi tenaga kerja. Dari hasil pengamatannya disimpulkan bahwa bilamana terhadap mesin diadakan suatu perawatan yang baik akan memberikan keuntungan kepada perusahaan, demikian pula apabila tenaga kerja dipelihara dan dirawat (dalam arti adanya perhatian baik kompensasi, kesehatan, tunjangan dan lain sebagainya) oleh pimpinan perusahaan akan memberikan keuntungan pada perusahaan. Selanjutnya dikatakan bahwa kuantitas dan kualitas hasil pekerjaan dipengaruhi oleh situasi ekstern dan intern dari pekerjaan. Atas hasil penelitiannya Robert Owen dikenal sebagai Bapak Manajemen Personalia
2.  Charles babbage (1792-1871)
Charles Babbage adalah seorang Profesor Matemátika dari Inggris yang menaruh perhatian dan minat pada bidang manajemen. Perhatiannya diarahkan dalam hal pembagian kerja (devision of labour), yang mempunyai beberapa keunggulan, yaitu:
1.       Waktu yang diperlukan untuk belajar dari pengalaman-pengalaman yang baru.
2.       Banyaknya waktu yang terbuang bila seseorang berpindah dari satu pekerjaan ke pekerjaanlain, dan orang tersebut harus menyesuaikan kembali pada pekerjaan barunya sehingga akan menghambat kemajuan dan keterampilan pekerja, untuk itu diperlukan spesialisasi dalam pekerjaannya.
3.        Kecakapan dan keahlian seseorang bertambah karena seorang pekerja bekerja terus menerus dalam tugasnya. 
4.       Adanya perhatian pada pekerjaannya sehingga dapat meresapi alat-alatnya karena perhatiannya pada itu-itu saja.
 
Teori hubungan modern ( ilmu pengetahuan ) / Teori perilaku
 
Dalam pengembangannya dibagi menjadi dua, pertama aliran hubungan manusiawi ( perilaku organisasi ) dan kedua berdasar pada manajemen ilmiah atau manajemen operasi.
Tokoh aliran perilaku organisasi yaitu :
 
v  Douglas McGregor yang terkenal dengan teori X dan teori Y.
v  Frederick Herzberg terkenal dengan teori motivasi higenis atau teori dua factor. 
v  Chris Argiris mengatakan bahwa organisasi sebagai sistem sosial atau sistem antar hubungan  budaya. 
v  Edgar Schein dinamika kelompok dalam organisasi. 
v  Abhraham Maslow mengemukakan tentang hirarki kebutuhan tentang perilaku manusia dan dinamika proses. 
v  Robert Blak dan Jane mounton mengemukakan lima gaya kepemimpinan dengan kisi-kisi manajerial ( managerial grid ). 
v  Rensislikert mengemukakan empat sistem manajemen dari sistem 1.explotatif, otoritatif sampai sistem 4. partisiatif kelompok. 
v  Fred Feidler menerapkan pendekatan contingency pada studi kepemimpinan.
 
** Sumbangan Aliran Perilaku Organisasi
Sumbangan aliran ini terlihat dalam peningkatan pemahaman terhadap motivasi perseorangan, perilaku kelompok, hubungan antara pribadi dalam kerja dan pentingnya kerja bagi manusia. Semua hal ini telah membuat para manajer semakin peka dan terampil dalam menangani dan berhubungan dengan bawahannya.
 
 Keterbatasan Aliran Perilaku Organisasi
Meskipun demikian, banyak ahli berpendapat potensi teori ini belum dikembangkan lebih lanjut. Selain itu juga banyak kritikan terhadap aliran ini, karena disamping terlalu umum, terlalu abstrak dan ruwet/rumit. Rekomendasi mereka sering berbeda satu ahli dengan ahli lainnya, sehingga manajer mengalami kesulitan menentukan pendapat yang paling baik.
 
 
Teori Aliran Kuantitatif (Riset Operasi dan Manajemen Sains)
 
Aliran kuantitatif mulai berkembang sejak Perang Dunia II. Pada waktu itu Inggris ingin memecahkan beberapa persoalan yang sangat kompleks dalam perang. Inggris kemudian membentuk Tim Riset Operasi (Reserch Operation), dipimpin oleh P.M.S Blackett. Tim ini terdiri dari ahli matematika, fisika, dan ilmuwan lainnya. Inggris berhasil menemukan terobosan-terobosan penting dari team tersebut. Amerika Serikat kemudian meniru, membentuk tim riset operasi seperti yang dibentuk Inggris.
Manajemen operasi merupakan variasi lain dari pendekatan kuantitatif. Beberapa contoh model manajemen operasi adalah : pengendalian persediaan seperti EOQ (Economic Order Quantity), simulasi, analisis break-event, programasi lenier (linear programming).
 
** Sumbangan Aliran Kuantitatif (Riset Operasi/Manajemen Sains)
Pendekatan kuantitatif memberikan sumbangan penting terutama dalam perencanaan dan pengendalian. Pendekatan tersebut juga membantu memahami persoalan manajemen yang kompleks. Dengan menggunakan model matematika, persoalan yang kompleks dapat disederhanakan.
** Keterbatasan Aliran Kuantitatif (Riset Operasi/Manajemen Sains)
Sayangnya model kuantitatif banyak menggunakan model atau simbol yang sulit dimengerti oleh kebanyakan orang, termasuk manajer. Pendekatan kuantitatif juga tidak melihat persoalan perilaku dan psikologi manusia dalam organisasi. Meskipun demikian potensi model kuantitatif belum dikembangkan sepenuhnya. Apabila dapat dikembangkan lebih lanjut pendekatan kuantitatif akan memberikan sumbangan yang lebih berarti.
MANAJEMEN DAN LINGKUNGAN EKSTERNAL
 
Manajemen lingkungan adalah aspek-aspek dari keseluruhan manajemen (termasuk perencanaan) yang menentukan dan membawa pada implementasi kebijakan lingkungan. Manajemen lingkungan selama ini sebelum adanya ISO 14001 berada dalam kondisi terpecah-pecah dan tidak memiliki stándar tertentu dari satu daerah dengan daerah lain, dan secara internasional berbeda penerapannya antara negara satu dengan lainnya. Praktek manajemen lingkungan yang dilakukan secara sistematis, prosedural, dan dapat diulang disebut dengan Sistem Manajemen Lingkungan ( EMS ).   Manajemen lingkungan saat ini telah banyak mengalami perubahan yang cukup berarti terutama dimulai Sejak awal tahun 1990. Penelitian mengenai efek dan akibat penerapan manajemen lingkungan telah banyak dilakukan terutama Sejak munculnya ISO 14001 di tahun 1996. Penerapan manajemen lingkungan yang baik di tingkat organisasi pada umumnya dibagi menjadi 3 elemen :
 
v     Perlindungan lingkungan secara fisik.
v     Membentuk budaya berkelanjutan dalam organisasi
v     Menanamkan nilai-nilai moral dan saling kepercayaan antar elemen organisasi.
 
 
 
DEFINISI LINGKUNGAN
  
Lingkungan menurut definisi umum yaitu segala sesuatu disekitar subjek manusia yang terkait dengan aktifitasnya. Elemen lingkungan adalah hal-hal yang terkait dengan : tanah, udara, air, sumber daya alam, flora, fauna, manusia, dan hubungan antar faktor-faktor tersebut. Titik sentral isu lingkungan adalah manusia. Jadi manajemen lingkungan bisa diartikan sekumpulan aktifitas merencanakan, dan menggerakkan sumber daya manusia dan sumber daya lain untuk mencapai tujuan kebijakan lingkungan yang telah ditetapkan.
Dalam pembahasan manajemen tidak lepas pada masalah lingkungan yang dihadapi oleh seorang manager. Perbedaan dan kondisi lingkungan akan berpengaruh terhadap konsep dan teknik serta keputusan yang akan diambil.  Ada dua macam faktor lingkungan, yaitu :
 
1.      Faktor Lingkungan Internal yaitu lingkungan yang ada didalam usahanya saja.
 
2.      Faktor Lingkungan Eksternal yaitu unsur-unsur yang berada diluar organisasi, dimana unsure-unsur ini tidak dapat dikendalikan dan diketahui terlebih dahulu oleh manager, disamping itu juga akan mempengaruhi manager didalam pengambilan keputusan yang akan dibuat. Unsur-unsur lingkungan eksternal organisasi contohnya yaitu perubahan ekonomi, paraturan pemerintah, perilaku konsumen, perkembangan teknologi, politik dan lainnya. Lingkungan eksternal dibagi menjadi dua yaitu :
 
v     Lingkungan eksternal mikro yaitu lingkungan yang mempunyai pengaruh langsung terhadap kegiatan manajemen yang terdiri atas penyedia, langganan, para pesaing, lembaga perbankan dan lainnya.
v     Lingkungan eksternal makro yaitu lingkungan yang mempunyai pengaruh tidak langsung, seperti kondisi perekonomian, perubahan teknologi, politik, sosial dan lain sebagainya.
 
 
 
TANGGUNG JAWAB SOSIAL MANAJER / PERUSAHAAN
 
Tanggung jawab Sosial Perusahaan atau Corporate Social Responsibility(selanjutnya dalam artikel akan disingkat CSR) adalah suatu konsep bahwa organisasi, khususnya (namun bukan hanya) perusahaan adalah memiliki suatu tanggung jawab terhadap konsumen, karyawan, pemegang saham, komunitas dan lingkungan dalam segala aspek operasional perusahaan.
           CSR berhubungan erat dengan “pembangunan berkelanjutan”, di mana ada argumentasi bahwa suatu perusahaan dalam melaksanakan aktivitasnya harus mendasarkan keputusannya tidak semata berdasarkan faktor keuangan, misalnya keuntungan atau deviden melainkan juga harus berdasarkan konsekuensi sosial dan lingkungan untuk saat ini maupun untuk jangka panjang
 
 
v     Analisis dan pengembangan
            Hari ini yang menjadi perhatian terbesar dari peran perusahaan dalam masyarakat telah ditingkatkan yaitu dengan peningkatan kepekaan dan kepedulian terhadap lingkungan dan masalah etika. Masalah seperti perusakan lingkungan, perlakuan tidak layak terhadap karyawan, dan cacat produksi yang mengakibatkan ketidak nyamanan ataupun bahaya bagi konsumen adalah menjadi berita utama surat kabar. Peraturan pemerintah pada beberapa negara mengenai lingkungan hidup dan permasalahan sosial semakin tegas, juga standar dan hukum seringkali dibuat hingga melampaui batas kewenangan negara pembuat peraturan (misalnya peraturan yang dibuat oleh Uni Eropa. Beberapa investor dan perusahaan manajemen investasi telah mulai memperhatikan kebijakan CSR dari suatu perusahaan dalam membuat keputusan investasi mereka, sebuah praktek yang dikenal sebagai “Investasi bertanggung jawab sosial” (socially responsable investing).
Banyak pendukung CSR yang memisahkan CSR dari sumbangan sosial dan “perbuatan baik” (atau kedermawanan seperti misalnya yang dilakukan oleh Habitat for Humanity atau Ronald McDonald House), namun sesungguhnya sumbangan sosial merupakan bagian kecil saja dari CSR. Perusahaan di masa lampau seringkali mengeluarkan uang untuk proyek-proyek komunitas, pemberian beasiswa dan pendirian yayasan sosial. Mereka juga seringkali menganjurkan dan mendorong para pekerjanya untuk sukarelawan (volunteer) dalam mengambil bagian pada proyek komunitas sehingga menciptakan suatu itikad baik dimata komunitas tersebut yang secara langsung akan meningkatkan reputasi perusahaan serta memperkuat merek perusahaan. Dengan diterimanya konsep CSR, terutama triple bottom line, perusahaan mendapatkan kerangka baru dalam menempatkan berbagai kegiatan sosial diatas.
Kepedulian kepada masyarakat sekitar/relasi komunitas dapat diartikan sangat luas, namun secara singkat dapat dimengerti sebagai peningkatan partisipasi dan posisi organisasi di dalam sebuah komunitas melalui berbagai upaya kemaslahatan bersama bagi organisasi dan komunitas. CSR adalah bukan hanya sekedar kegiatan amal, di mana CSR mengharuskan suatu perusahaan dalam pengambilan keputusannya agar dengan sungguh-sungguh memperhitungkan akibat terhadap seluruh pemangku kepentingan (stakeholder) perusahaan, termasuk lingkungan hidup. Hal ini mengharuskan perusahaan untuk membuat keseimbangan antara kepentingan beragam pemangku kepentingan eksternal dengan kepentingan pemegang saham, yang merupakan salah satu pemangku kepentingan internal.
Dunia bisnis selama setengah abad terakhir, telah menjelma menjadi institusi paling berkuasa diatas planet ini. Institusi yang dominan di masyarakat manapun harus mengambil tanggung jawab untuk kepentingan bersama setiap keputusan yang dibuat, setiap tindakan yang diambil haruslah dilihat dalam kerangka tanggung jawab tersebut.
Sebuah definisi yang luas oleh World Business Council for Sustainable Development (WBCSD) yaitu suatu asosiasi global yang terdiri dari sekitar 200 perusahaan yang secara khusus bergerak dibidang “pembangunan berkelanjutan” (sustainable development) yang menyatakan bahwa:
” CSR adalah merupakan suatu komitmen berkelanjutan oleh dunia usaha untuk bertindak etis dan memberikan kontribusi kepada pengembangan ekonomi dari komunitas setempat ataupun masyarakat luas, bersamaan dengan peningkatan taraf hidup pekerjanya beserta seluruh keluarganya”.
 
 
v     Pelaporan dan pemeriksaan
 
Untuk menunjukkan bahwa perusahaan adalah warga dunia bisnis yang baik maka perusahaan dapat membuat pelaporan atas dilaksanakannya beberapa standar CSR termasuk dalam hal:
 
o       Akuntabilitas atas standar AA1000 berdasarkan laporan sesuai standar John Elkington yaitu laporan yang menggunakan dasar triple bottom line (3BL).
o       Global Reporting Initiative, yang mungkin merupakan acuan laporan berkelanjutan yang paling banyak digunakan sebagai standar saat ini.
o       Verite, acuan pemantauan
o       Laporan berdasarkan standar akuntabilitas sosial internasional SA8000.
o       Standar manajemen lingkungan berdasarkan ISO 14000
 
Di beberapa negara dibutuhkan laporan pelaksanaan CSR, walaupun sulit diperoleh kesepakatan atas ukuran yang digunakan untuk mengukur kinerja perusahaan dalam aspek sosial. Sementara aspek lingkungan apalagi aspek ekonomi memang jauh lebih mudah diukur. Banyak perusahaan sekarang menggunakan audit eksternal guna memastikan kebenaran laporan tahunan perseroan yang mencakup kontribusi perusahaan dalam pembangunan berkelanjutan, biasanya diberi nama laporan CSR atau laporan keberlanjutan. Akan tetapi laporan tersebut sangat luas formatnya, gayanya dan metodologi evaluasi yang digunakan (walaupun dalam suatu industri yang sejenis). Banyak kritik mengatakan bahwa laporan ini hanyalah sekedar “pemanis bibir” (suatu basa-basi), misalnya saja pada kasus laporan tahunan CSR dari perusahaan Enron dan juga perusahaan-perusahaan rokok. Namun, dengan semakin berkembangnya konsep CSR dan metode verifikasi laporannya, kecenderungan yang sekarang terjadi adalah peningkatan kebenaran isi laporan. Bagaimanapun, laporan CSR atau laporan keberlanjutan merupakan upaya untuk meningkatkan akuntabilitas perusahaan di mata para pemangku kepentingannya.
 
 
v     Kasus bisnis dari CSR
 
Skala dan sifat keuntungan dari CSR untuk suatu organisasi dapat berbeda-beda tergantung dari sifat perusahaan tersebut dan amat sulit untuk mengukurnya walaupun banyak sekali literatur yang memuat tentang cara mengukur seperti misalnya metode “Empat belas poin balanced scorecard oleh Deming. Orlizty, Schmidt, dan Rynes menemukan suatu korelasi antara sosial / performa lingkungan hidup dan performa keuangan. Namun bisnis nampaknya tidak menguntungkan apabila diharuskan melaksanakan strategi CSR.
Hasil Survey “The Millenium Poll on CSR” (1999) yang dilakukan oleh Environics International (Toronto), Conference Board (New York) dan Prince of Wales Business Leader Forum (London) diantara 25.000 responden di 23 negara menunjukkan bahwa dalam membentuk opini tentang perusahaan, 60% mengatakan bahwa etika bisnis, praktek terhadap karyawan, dampak terhadap lingkungan, tanggungjawab sosial perusahaan (CSR) akan paling berperan, sedangkan bagi 40% citra perusahaan & brand image yang akan paling mempengaruhi kesan mereka. Hanya 1/3 yang mendasari opininya atas faktor-faktor bisnis fundamental seperti faktor finansial, ukuran perusahaan, strategi perusahaan, atau manajemen.
Lebih lanjut, sikap konsumen terhadap perusahaan yang dinilai tidak melakukan CSR adalah ingin “menghukum” (40%) dan 50% tidak akan membeli produk dari perusahaan yang bersangkutan dan/atau bicara kepada orang lain tentang kekurangan perusahaan tersebut.
Kasus bisnis pada CSR diantara perusahaan-perusahaan biasanya berkisar satu ataupun lebih dari argumentasi dibawah ini :
 
** Sumber daya manusia
Program CSR dapat dilihat sebagai suatu pertolongan dalam bentuk rekrutmen tenaga kerja dan memperkerjakan masyarakat sekitar, terutama sekali dengan adanya persaingan kerja diantara para lulusan sekolah. Akan terjadi peningkatan kemungkinan untuk ditanyakannya kebijakan CSR perusahaan pada rekrutmen tenaga kerja yang berpotesi maka dengan memiliki suatu kebijakan komprehensif akan menjadi suatu nilai tambah perusahaan. CSR dapat juga digunakan untuk membentuk suatu atmosfir kerja yang nyaman diantara para staf, terutama apabila mereka dapat dilibatkan dalam “penyisihan gaji” dan aktivitas “penggalangan dana” atapun suka relawan.
** Manajemen risiko
Manajemen risiko merupakan inti dari strategi perusahaan. Reputasi yang dibentuk dengan susah payah selama bertahun-tahun dapat musnah dalam sekejap melalui insiden seperti skandal korupsi atau skandal lingkungan hidup. Kejadian ini dapat menarik perhatian yang tidak diinginkan dari penguasa, pengadilan, pemerintah dan media massa. Membentuk suatu budaya dari “mengerjakan sesuatu dengan benar” pada perusahaan dapat mengurangi risiko ini.
** Membedakan merek
Di tengah hiruk pikuknya pasar maka perusahaan berupaya keras untuk membuat suatu cara penjualan yang unik sehingga dapat membedakan produknya dari para pesaingnya di benak konsumen. CSR dapat berperan untuk menciptakan loyalitas konsumen atas dasar nilai khusus dari etika perusahaan.
** Ijin usaha
Perusahaan selalu berupaya agar menghindari gangguan dalam usahanya melalui perpajakan atau peraturan. Dengan melakukan sesuatu kebenaran secara sukarela maka mereka akan dapat meyakinkan pemerintah dan masyarakat luas bahwa mereka sangat serius dalam memperhatikan masalah kesehatan dan keselamatan, diskriminasi atau lingkungan hidup maka dengan demikian mereka dapat menghindari intervensi. Perusahaan yang membuka usaha diluar negara asalnya dapat memastikan bahwa mereka diterima dengan baik selaku warga perusahaan yang baik dengan memperhatikan kesejahteraan tenaga kerja dan akibat terhadap lingkungan hidup, sehingga dengan demikian keuntungan yang menyolok dan gaji dewan direksinya yang sangat tinggi tidak dipersoalkan.
** Motif perselisihan bisnis
Kritik atas CSR akan menyebabkan suatu alasan dimana akhirnya bisnis perusahaan dipersalahkan. Contohnya, ada kepercayaan bahwa program CSR seringkali dilakukan sebagai suatu upaya untuk mengalihkan perhatian masyarakat atas masalah etika dari bisnis utama perseroan.
 

Minggu, 16 November 2014

KUMPULAN RUMUS MATEMATIKA SMA



RUMUS MATEMATIKA SMA
Oleh Russel Sng

Bab 1
Rumus-Rumus Trigonometri (Matematika)
 
A. Bentuk Umum


B. Sudut-Sudut Istimewa


C. Hubungan Sudut Berelasi antara Sin, Cos dan Tangen



D. Rumus-rumus Trigonometri

1. Aturan sinus


2. Aturan Cosinus


3. Luas Segitiga ABC


4. Jumlah dan Selish Dua Sudut



5. Sudut 2A (Sudut Kembar)


6. Hasil Kali Dua Fungsi Trigonometri


7. Jumlah Selisih Dua Fungsi Trigonometri



8. Persamaan Trigonometri


9. Bentuk a Cos x + b Sin x


10. Bentuk a Cos x + b Sin x = c

11. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi f(x) =a Cos x + b Sin x 




  Bab 2 
Perhitungan Konversi Satuan
Dalam perhitungan khususnya dalam dunia IPA, kita kembutuhkan keahlian dalam perhitungan. Dan terkadang terdapat perhitungan yang memerlukan konversi.


Angka dan satuan terkait dalam besaran apapun yang kita ukur, seperti panjang, massa atau kecepatan. Sering kita diberikan besaran dalam satuan tertentu dan kita kita ingin menyatakannya dalam satuan lain. Misalnya kita mengetahui jarak dua desa dalam satuan meter dan kita ingin mengetahui berapa jaraknya dalam satuan kilometer. Demikian pula dengan massa benda. Misalnya kita mengukur berat badan kita dalam satuan kg dan kita ingin mengetahui berat badan kita dalam satuan pon. Untuk itu kita harus mengkonversi satuan tersebut. Konversi berarti mengubah. Untuk mengkonversi satuan, terlebih dahulu harus diketahui beberapa hal yang penting, antara lain awalan-awalan metrik yang digunakan dalam satuan dan faktor konversi.

Awalan-awalan satuan yang sering digunakan dapat anda lihat pada tabel berikut ini.



km = kilometer
hm = hektometer
dam = dekameter
m = meter
dm = desimeter
cm = centimeter
mm = milimeter
Konversi Satuan SI
Kelebihan sistem Satuan Internasional (SI) adalah kemudahan dalam pemakaiannya karena menggunakan sistem desimal (kelipatan 10) dan hanya ada satu satuan pokok untuk setiap besaran dengan penambahan awalan untuk satuan yang lebih besar atau lebih kecil. Misalnya, 1 centimeter = 0,01 meter atau 1 kilogram sama dengan 1000 gram. Untuk kemudahan mengubah suatu satuan ke satuan lain dapat dilakukan dengan menggunakan bantuan tangga konversi seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini.




kg = kilogram
hg = hektogram
dag = dekagram
g = gram
dg = desigram
cg = centigram
mg = miligram


Cara mengkonversi satuan-satuan SI dengan tangga konversi :

Pertama, Letakkan satuan asal yang akan dikonversi dan satuan baru yang akan dicari pada tangga sesuai dengan urutan tangga konversi

Kedua, Hitung jumlah langka yang harus ditempuh dari satuan asal ke satuan baru

a. Jika satuan baru berada di bawah satuan asal ( menuruni tangga ), maka :
* Setiap turun satu tangga, bilangan asal dikali 10
* Setiap turun dua tangga, bilangan asal dikali 10
* Setiap turun tiga tangga, bilangan asal dikali 1000, dan seterusnya

b. Jika satuan baru berada di atas satuan asal ( menaiki tangga ), maka :
* Setiap naik satu tangga, bilangan asal dibagi 10
* Setiap naik dua tangga, bilangan asal dibagi 100
* Setiap naik tiga tangga, bilangan asal dibagi 1000, dan seterusnya

Contoh soal :

Ubahlah satuan berikut ini ?

10 km = …. cm ?

Perhatikan Tangga Konversi Satuan Panjang.

Dari km (kilometer) ke cm (centimeter), kita menuruni 5 anak tangga. Dengan demikian kita mengalikannya dengan 100.000 (5 nol). Jadi 10 km = 10 x 100000 = 1000.000 cm

7000 m = ….. km ?

Perhatikan Tangga Konversi Satuan Panjang.

Dari m (meter) ke km (kilometer), kita menaiki 3 anak tangga. Dengan demikian kita membaginya dengan 1000 (3 nol). Jadi 7000 km = 7000 : 1000 = 7 km

300 gr = ….. kg ?

Perhatikan Tangga Konversi Satuan massa.

Dari gr (gram) ke kg (kilogram), kita menaiki 3 anak tangga. Dengan demikian kita membaginya dengan 1000 (3 nol). Jadi 300 gr = 300 : 1000 = 0,3 kg

5 kg = …. mg ?

Perhatikan Tangga Konversi Satuan massa.

Dari kg (kilogram) ke mg (miligram), kita menuruni 6 anak tangga. Dengan demikian kita mengalikannya dengan 1.000.000 (6 nol). Jadi 5 kg = 5 x 1000.000 = 5.000.000 kg


FAKTOR KONVERSI
Selain mengkonversi satuan dalam sistem internasional, kita juga harus mengetahui konversi satuan dalam sistem yang berbeda, antara lain dari satuan Sistem Internasional ke Sistem British atau sebaliknya. Sebagai contoh, kita mengukur panjang sebuah meja dalam satuan inchi dan kita ingin menyatakannya dalam centimeter. Untuk itu kita perlu mengetahui faktor konversi. Faktor konversi dapat anda lihat pada tabel di bawah ini.



Contoh Soal :
Ubahlah satuan panjang berikut ini :
15 inchi = ….. m ?
Perhatikan Faktor Konversi Panjang.
1 inchi = 2,54 cm. —– 1 cm = 0,01 m (lihat tangga konversi panjang)
Jadi, 15 inchi = 15 x 2,54 cm = 38,1 cm —— 38,1 cm = 38,1 x 0,01 m = 0,381 meter.
100 mil = …. cm ?
Perhatikan Faktor Konversi Panjang.
1 mil = 1,61 km. —– 1 km = 100.000 cm (lihat tangga konversi panjang)
Jadi, 100 mil = 100 x 1,61 km = 161 km —- 161 km = 161 x 100.000 cm
= 16.100.000 cm.

100 km = …. mil ?
Perhatikan Faktor Konversi Panjang.
1 km = 0,621 mil.
Jadi, 100 km = 100 x 0,621 mil = 62,1 mil.

Ubahlah satuan Kelajuan berikut ini :
(Catatan : Knot merupakan satuan kelajuan yang biasa digunakan Kapal Laut)
50 Knot = …. km/jam ?
Perhatikan Faktor Konversi Panjang.
1 knot = 1,151 mil/jam —– 1 mil/jam = …. Km/jam ?
1 mil = 1,61 km (lihat Faktor Konversi Panjang)
Jadi, 1 mil/jam = 1,61 km/jam
50 Knot = 50 x 1,61 km/jam = 80,5 km/jam


 
Bab 3
Sekilas Tentang Logaritma Matematika
Mari belajar sekilas tentang logaritma..
Jika n adalah logaritma dari a dengan bilangan pokok p, maka berlaku :

plog a = n <---> pn = a
Dengan catatan : a>0, p>0, dan p≠1

Setelah itu, barulah kita mempelajari sifat-sifat logaritma yang bisa kita terapkan di berbagai persoalan.

Sifat-sifat logaritma :
1. plog ( ab ) = plog a + plog b
2. alog an = n
3. plog (a/b) = plog a - plog b
4. plog 1 = 0
5. plog an = n . alog a
6. plog a . alog q = plog q
7. pnlog am = m/n plog a
8. plog p = 1
9. Pplog a = a


  1. Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok = 10.
    [log 7 maksudnya 10log 7 ]
  1. lognx adalah cara penulisan untuk (logx)nBedakan dengan log xn = n log x

Contoh soal :
Jika 3log 4 = p dan 2log 5 = q maka nilai untuk 3log 5 ?

2log 5 =
22log 52 =
2 . 4log 5 =
4log 5 =

q
q
q
1/2 q

3log 4 . 4log 5 = 3log 5
maka 3log 5 = 1/2 (pq)





Bab 4
Barisan dan Deret Aritmetika
 


Pada pembelajaran matematika di kelas XII SMA ada sebuah BAB yang mempelajari tentang BARISAN dan DERET. Semoga postingan ini dapat membantu bagi teman-teman yang kesulitan memahami materinya.


  • BARISAN ARITMATIKA



  • U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
    U- U1 = U- U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta

    Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1 

    Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
                                          U1, U2,   U3 ............., Un

    Rumus Suku ke-n :

    Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n
    • DERET ARITMATIKA
    a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.a = suku awal
    b = beda
    n = banyak suku
    Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-nJumlah n suku

    Sn = 1/2 n(a+Un)
          = 1/2 n[2a+(n-1)b]
          = 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)
    Keterangan:


    1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")

    1. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
      Barisan aritmatika akan turun jika b < 0

    1. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"

    1. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

      Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1)          dst.

    1. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n

    1. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b





      Bab 5
    Penjelasan mengenai Barisan dan Deret Geometri


    Pada postingan sebelumnya terdapat pembahasan mengenai barisan dan deret aritmatika, nah kali ini postingnya membahas tentang bagian lain dari BAB Barisan dan Deret pada pembelajaran Matematika di kelas XII, semoga posting ini dapat membantu bagi teman-teman yang kesulitan dalam pembelajaran ini..
    BARISAN GEOMETRI 
    Barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut rasio (pembanding) dilambangkan dengan r. Jika suku pertama (U1) dinotasikan a dan rasio dinyatakan dengan r, maka suku-suku barisan geometri dapat dituliskan sebagai berikut: a, ar, ar2, ……, arn-1.
    Sehingga suku ke-n suatu barisan geometri dirumuskan : Un= arn-1
    Sedangkan jika Un dibagi dengan Un-1 didapat r,
    sehingga  diperoleh rumus untuk r :


















    DERET GEOMETRI

    Jika pada barisan geometri tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret geometri.
    Bentuk baku deret geometri adalah:  a + ar + ar2 + …… + arn-1 . Jumlah n  suku pertama deret geometri dinyatakan dengan Sn, dan dirumuskan:







    Untuk deret geometri dengan -1< r <1 dikatakan bahwa deret tersebut konvergen atau mempunyai jumlah sampai tak hingga suku.

    Jumlah takhingga dilambangkan dengan S ~ dan dirumuskan :


     
    DERET GEOMETRI TAK BERHINGGADeret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

    U1 + U2 + U3 + ..............................

    ¥
    å
     Un = a + ar + ar² .........................
    n=1 

    dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rn ® 0
    Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :Jumlah tak berhingga    S¥ = a/(1-r)Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

    Catatan:


    a + ar + ar+ ar+ ar+ .................
    Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
    a+ar+ar4
    .......                     Sganjil = a / (1-r²)Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
    a + ar3 + ar5 + ......                  Sgenap = ar / 1 -r² 

    Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r




  • PENGGUNAAN
    Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)
    M0, M1, M2, ............., Mn
    M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0
    M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0
    .
    .
    .
    .
    Mn =M0 + P/100 (n) M0 ® Mn = {1 + P/100 (n) } M0

    Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)
    M0, M1, M2, .........., Mn
    M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0
    M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0      = (1 + P/100)² M0.
    .
    .
    Mn = {1 + P/100}n M0
    Keterangan :
    M0 = Modal awalMn = Modal setelah n periodep   = Persen per periode atau suku bungan   = Banyaknya periode
    Catatan:
    Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).



    LATIHAN SOAL
     1.   Tentukan suku yang diminta dari barisan :
          a) 1,3,9,..... suku ke-7
          b) 3,6,12,....suku ke-8
          c) 16,8,4, ... suku ke-10







    2.  Tentukan rasio dan suku ke-5 dari barisan geometri jika diketahui sebagai berikut:
    1. U1 = 2,  U3 = 8
    1. U1 = 4U3, U4 = ¼
    1. U1 = 36, U2 = –12
    1. U1.U5 = 16, U2 + U4 = 10
    1. U1 + U6 = 244, U3.U4 = 243
     3. Carilah nilai x jika barisan berikut adalah barisan geometri.
    1. x + 1, x – 1, dan x – 5
    1. 2x, x2 dan 8x
    1. 4 + x, 3 + 3x dan 1 + 7x
    1. x – 1, 2x – 8 dan 5 – x
    1. 2x – 5, x – 4 dan 10 – 3x
    4.  Diketahui barisan geometri : 1, 9, 81, ……. Diantara tiap dua suku berurutan disisipkan sebuah suku sehingga terbentuk barisan geometri baru.  Tentukan rasio dan suku ke-7 barisan geometri baru.

    5. Suatu modal sebesar M rupiah ditabung di Bank dan mendapatkan bunga majemuk p% setiap tahun.  Tentukan modal setelah n tahun.

    6. Sebuah mobil harganya Rp. 300.000.000,- setiap tahun harga mobil itu menyusut 10% dari harga tahun sebelumnya.
    1. hitunglah harga mobil pada akhir tahun ke-1, 2, 3, dan 4.
    1. Jika setelah n tahun harga mobil itu adalah Tn, tunjukkan bahwa Tn = Rp. 300.000.000,- x (0,9)n


    7.  Pada sebuah deret geometri dibutuhkan U1 + U2 = 4, Un–1 + Un = 108 dan Sn = 121.  tentukan a dan r
    8.  Diketahui bahwa jumlah n suku suatu deret adalah Sn = 3(2n – 1) 
    1. Buktikan bahwa deret itu adalah deret geometri
    1. Tentukan suku pertama, rasio dan suku ke-10
    1. Carilah n terkecil agar jumlah n suku pertamanya lebih besar dari 104
    9.  Uang sebesar Rp. 2.000.000,- diinvestasikan pada tiap awal tahun dengan mendapat bunga majemuk 12%  
        pertahun.  Hitunglah seluruh uang tersebut pada akhir tahun ketujuh. 
    10.   x1 dan x2 adalah akar-akar bulat dari persamaan x2 – (2k + 4)x + (3k + 4) = 0.  Jika x1, k dan x2 merupakan tiga suku pertama barisan geometri.  Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut.

    11.  Diantara setiap dua suku berurutan pada deret geometri 7 + 28 + 112 + …… sampai 6 suku disisipkan sebuah suku sehingga diperoleh deret geometri baru.  Hitunglah jumlah suku-suku yang disisipkan.
      Bab 6
    Penjelasan Rumus Phytagoras

    Tahu kan rumus yang satu ini, itu loh, rumus untuk mencari nilai dari panjang sisi sebuah segitiga. Bagi yang belum mengerti berikut penjelasannya.
    Rumus asli phytagoras 







    Dari gambar diatas, kita buktikan kebenarannya, di mulai dengan membuat gambar sebuah persegi besar, kemudian gambarlah sebuah persegi kecil di dalam persegi besar tersebut, seperti gambar berikut:




    Perhitungan Phytagoras  :
    Luas persegi besar = Luas persegi kecil + 4 Luas segitiga
    ( b + a ) . ( b + a ) = c . c + 4 . 1/2 b.a 

    b2 + 2 b.a + a2 = c2 + 2 b.a

    b
     2 + a2 = c2 + 2 b.a - 2 b.a

    b
     2 + a2 = c2

    Berdasarkan Rumus Phytagoras  tersebut terbukti bahwa sisi miring sebuah segitiga siku - siku adalah akar dari jumlah kuadrat sisi - sisi yang lain.
    Berikut cara penggunaannya.:


    Apabila kita mencari Sisi Miring ( C ) Rumus = a² + b² = n,, n= akar n = hasil nya
    Tidak Susah Kan???
     
    Kalau Kalian Ingin Mencari sisi Alas( A ) Rumus = b² - c²=n,, n= akar n = hasil nya(apabila B panjang nya lebih panjang berarti di kurangi c.nah C Lebih Besar Juga sebaliknya) 
    kalau mencari tinggi (b) Sama seperti mencari Alas.Tetapi kalau Ini B nnya Di ganti Dengan A.
    Mari Kita Pakai Soal Agar Lebih Mengerti
    Soal : 
    Sisi A= 20 cm Sisi b= 15 cm Sisi c=n?
    berapakah Sisi C.
    Cara Mencari nya seperti Di atas.masih Inget kan?
    Jawab :
    :: 20² + 15² = 400 + 225 = 625 .. Akar Dari 625= 25 Jadi Sisi c Samadengan = 25

    Soal :
    Kalau Sisi B= 25 cm Sisi C= 15 cm A= N??
    Jawab :
    :: 25² - 15² = 625 - 225 = 400 .. akar dari 400 = 20 cm Jadi sisi B 20 cm(apabila Mencari Yang sisi A sama seperti B)
    Mudah bukan, selamat mencoba..





    Bab 7
    Rumus Luas dan Volume Bangun Kerucut

    Dalam matematika, kita akan mempelajari tentang bangun ruang. Kali ini kami akan membahas tentang rumus bangun kerucut. 

    Dalam geometri, kerucut adalah sebuah limas istimewa yang beralas lingkaran. Kerucut memiliki 2 sisi dan 1 rusuk.
    Sisi tegak kerucut tidak berupa segitiga tapi berupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut.
    Unsur-unsur Kerucut:
    Kerucut memiliki 1 titik sudut, 1 rusuk dan 2 sisi .

    Luas dan volume kerucut

    • Luas permukaan kerucut atau luas kerucut :
    L = luas sisi alas + luas selimut kerucut
       = π r2 + π r s
       = π r (r + s)

    •Volume kerucut :
    V = 1/3 x luas alas x tinggi
       = 1/3 x π r2 x t
       = 1/3 π r2t
      Bab 8
    Rumus Matematika Peluang


    Di pembelajaran Matematika kelas XII kita akan mempelajari bab yang berisikan materi peluang, semoga posting ini dapat bermanfaat bagi teman-teman pelajar.

    Peluang Matematika
     1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian 
    Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S. 

    Contoh:
    Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
    Jawab :
    S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
    P = {AAG, AGA, GAA}
    2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian 
    Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :  

    Contoh :
    Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
    Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
    Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
    A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3
    3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
    Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan  
    Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti. 

    4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian 
    Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ). 

    Contoh :
    Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
    Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
    Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
    A = { 1 } dan n ( A ) sehingga : 

    Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah
    5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian 
    Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga : 
     
    Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P). 

    Peluang Kejadian Majemuk
    1. Gabungan Dua Kejadian 
    Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :  

    Catatan : dibaca “ Kejadian A atau B dan  dibaca “Kejadian A dan B” 

    Contoh :
    Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
    Jawab :
    2. Kejadian-kejadian Saling Lepas 
    Untuk setiap kejadian berlaku  Jika  . Sehingga Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas. 

    3. Kejadian Bersyarat 
    Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika  adalah peluang terjadinya A dan B, maka  Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas. 

    4. Teorema Bayes 
    Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :  

    5. Kejadian saling bebas Stokhastik 
    (i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga: 
     

    Sebaran Peluang
    1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang. 
    Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap dan setiap  maka: 
     

    Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut : 
     

    2. Sebaran Binom 
    Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut : 

     
    Dengan P sebagai parameter dan  
    Rumus ini dinyatakan sebagai: 
     untuk n = 0, 1, 2, .... ,n 
    Dengan P sebagai parameter dan  

    P = Peluang sukses 
    n = Banyak percobaan 
    x = Muncul sukses 
    n-x = Muncul gagal
     
    Bab 9
    Rumus Matematika Untuk Mean, Median dan
    Modus dan contoh soalnya.
    Di pembelajaran MATEMATIKA kelas XI, kita akan mempelajari bab statistik, di posting kali ini, akan dijelaskan mengenai Rumus Matematika untuk MEAN, MODUS, MEDIAN dan beberapan bagian yang lainnya. Penjellasannya sebagai berikut:


    1. Rumus Rataan Hitung (Mean) 
    Rata-rata hitung atau mean memiliki perhitungan dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung disebut dengan mean.

    a) Rumus Mean dari Data Tunggal  




    b) Rumus Mean Untuk Data yang Disajikan Dalam Distribusi Frekuensi.





    Dengan : fixi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian
    xi = data ke-i



    c) Rumus Mean Gabungan





    2. Rumus Modus 


    a. Data yang belum dikelompokkan

    Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan mo.
    b. Data yang telah dikelompokkan

    Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus:





    Dengan : Mo = Modus
    L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i = Interval kelas
    b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya
    b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnya



    3. Rumus Median (Nilai Tengah) 

    a) Data yang belum dikelompokkan
    Untuk mencari nilai median, data harus dikelompokan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar. 





    b) Rumus Data yang Dikelompokkan





    Dengan : Qj = Kuartil ke-j
    j = 1, 2, 3
    i = Interval kelas
    Lj = Tepi bawah kelas Qj
    fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qj
    f = Frekuensi kelas Qj
    n = Banyak data




    4. Rumus Jangkauan ( J )
    Rumus jangkauan yaitu selisih antara nilai data terbesar dengan nilai data terkecil. 

     





    5. Rumus Simpangan Quartil (Qd)


    Rumus simpangan quartil yaitu:





    6. Rumus Simpangan baku ( S ) 
    Menentukan rumus simpangan baku yaitu dengan cara:





    7. Rumus Simpangan rata – rata (SR) 



    8. Rumus Ragam (R)







    Contoh soal statistika
    Tabel 1.1 dibawah ini:





    Jawab :







    Contoh soal sederhana:
    Berikut ini terdapat data nilai matematika siswa kls VII.A,
    andi 85
    audi 90
    dessy 75
    fany 68
    hariz 70
    joko 80
    sinta 75
    umaima 74
    zeckry 82
    Tentukan nilai mean, median, dan modus dari data tersebut.?

    Penyelesaian:
    urutkan data-data tersebut terlebih dahulu berdasarkan nilai dari terendah hingga teritnggi,
    68
    70
    74
    75
    75
    80
    82
    85
    90
    diketahui jmlh anak (n)= 9 org, maka
    jumlah nilai= 68+70+74+75+75+80+82+85+90= 699

    Mean= 699/9 = 77,667
    Jadi, nilai rata-rata siswa kls VII.A untuk pelajaran matematika = 77,667

    Median= nilai tengah dari kelompok data tersebut adalah nilai 75

    Modus= terdapat 2 nilai 75 dalam kelompok data, sehingga modus= 75




    Cukup mudah bukan materi tentang mean, median dan modus, bagaimaba pendapat kamu?
    Jangan lupa untuk membaca materi matematika lainnya. 



      Bab 10
    Operasi Penjumlahan dan Perasionalan Pada Pecahan

    Masih ingat bentuk berikut :
    32 = 3 x 3
    23 = 2 x 2 x 2
    56 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
    Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.
    Gambar:36.jpg
    Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.
    Sifat 1
    an x an = am + n
    24 x 23 = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
               = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
               = 27
               = 24+3
    Sifat 2
    am : an = am - n, m > n
    55 : 53 = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
               = 5 x 5
               = 52
               = 55 - 3
    Sifat 3
    (am)n = am x n
    (34)2 = 34 x 34
           = (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
           = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
           = 38
           = 34 x 2
    Sifat 4
    (a x b)m = am x bm
    (4 x 2)3 = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
               = (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
               = 43 x 23
    Sifat 5
    (a : b)m = am : bm
    (6 : 3) 4 = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
                = (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
                = 64 : 34


    Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif
    Gambar:37.jpg
    Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 20 = 1 dan 2-n 1/2n , secara umum dapat ditulis :
    Gambar:38.jpg
    Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
    Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.
    Contoh:
    Tentukan hasil berikut ini!
     (1/2)5
    Jawab :
    Gambar:39.jpg


    Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan


    Bilangan Rasional dan Irasional
    Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, -1/2, 0, 3, 3/4, dan 5/9.
    Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
    Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya 
    √2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.


    Bentuk Akar
    Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain?
    Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.
    Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
    √a2 = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0
    Contoh :
    Sederhanakan bentuk akar berikut √75
    Jawab :
    √75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3


    Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya
    Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar n√am dapat ditulis am/n(dibaca: a pangkat m per n). Bentuk am/n disebut bentuk pangkat pecahan.
    contoh :
    Gambar:40.jpg 
    jawab :
    Gambar:41.jpg


    Operasi Aljabar pada Bentuk Akar


    Penjumlahan dan Pengurangan
    Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis.

    Gambar:42.jpg
    kesimpulan :
    jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku 
    a√b + c√b = (a + c)√b
    a√b - c√b = (a - c)√b


    Perkalian dan Pembagian
    Contoh :
    Tentukan hasil operasi berikut :
    Gambar:43.jpg
    jawab :
    Gambar:44.jpg


    Perpangkatan
    Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.
    Contoh:
    Gambar:45.jpg


    Operasi Campuran
    Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.
    • Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
    • Jika tidak ada tanda kurungnya maka
    1. pangkat dan akar sama kuat;
    1. kali dan bagi sama kuat;
    1. tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
    1. kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.
    Contoh :
    Gambar:46.jpg


    Merasionalkan Penyebut
    Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya Gambar:47.jpg
    Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah Gambar:48.jpg
    Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.


    Penyebut Berbentuk √b
    Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan a/√b dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan √b/√b .
    Gambar:49.jpg 
    Contoh :
    Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!
    Gambar:50.jpg
    jawab :
    Gambar:51.jpg


    Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)
    Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b) adalah dan sebaliknya.
    Bukti
    Gambar:52.jpg
    Contoh :
    Rasionalkan penyebut pecahan berikut.
    Gambar:53.jpg
    jawab :
    Gambar:54.jpg 


    Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)
    Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut.
    Gambar:55.jpg
    Contoh:
    Selesaikan soal berikut!
    Gambar:56.jpg
    Jawab :
    gambar:57.jpg



    Referensi

    • Tiga Serangkai

    • http://bebas.vlsm.orgMasih ingat bentuk berikut :
      32 = 3 x 3
      23 = 2 x 2 x 2
      56 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
      Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.

      Gambar:36.jpg

      Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.

      Sifat 1
      an x an = am + n
      24 x 23 = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
                 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
                 = 27
                 = 24+3

      Sifat 2
      am : an = am - n, m > n
      55 : 53 = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
                 = 5 x 5
                 = 52
                 = 55 - 3

      Sifat 3
      (am)n = am x n
      (34)2 = 34 x 34
             = (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
             = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
             = 38
             = 34 x 2

      Sifat 4
      (a x b)m = am x bm
      (4 x 2)3 = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
                 = (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
                 = 43 x 23

      Sifat 5
      (a : b)m = am : bm
      (6 : 3) 4 = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
                  = (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
                  = 64 : 34

      Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif

      Gambar:37.jpg

      Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 20 = 1 dan 2-n 1/2n , secara umum dapat ditulis :

      Gambar:38.jpg

      Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
      Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.

      Contoh:
      Tentukan hasil berikut ini!

       (1/2)5
      Jawab :
      Gambar:39.jpg

      Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

      Bilangan Rasional dan Irasional

      Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, -1/2, 0, 3, 3/4, dan 5/9.

      Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
      Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya 

      √2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.

      Bentuk Akar

      Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain?

      Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.

      Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
      √a2 = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0

      Contoh :
      Sederhanakan bentuk akar berikut √75
      Jawab :
      √75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3

      Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya

      Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar n√am dapat ditulis am/n(dibaca: a pangkat m per n). Bentuk am/n disebut bentuk pangkat pecahan.

      contoh :
      Gambar:40.jpg 

      jawab :

      Gambar:41.jpg

      Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

      Penjumlahan dan Pengurangan

      Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis.

      Gambar:42.jpg

      kesimpulan :
      jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku 

      a√b + c√b = (a + c)√b

      a√b - c√b = (a - c)√b

      Perkalian dan Pembagian

      Contoh :
      Tentukan hasil operasi berikut :

      Gambar:43.jpg

      jawab :

      Gambar:44.jpg

      Perpangkatan

      Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.
      Contoh:
      Gambar:45.jpg

      Operasi Campuran

      Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.

      • Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
      • Jika tidak ada tanda kurungnya maka

      1. pangkat dan akar sama kuat;
      1. kali dan bagi sama kuat;
      1. tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
      1. kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.

      Contoh :

      Gambar:46.jpg

      Merasionalkan Penyebut

      Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya Gambar:47.jpg

      Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah Gambar:48.jpg

      Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.

      Penyebut Berbentuk √b

      Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan a/√b dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan √b/√b .
      Gambar:49.jpg 

      Contoh :
      Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!

      Gambar:50.jpg

      jawab :

      Gambar:51.jpg

      Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)

      Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b) adalah dan sebaliknya.
      Bukti
      Gambar:52.jpg

      Contoh :

      Rasionalkan penyebut pecahan berikut.

      Gambar:53.jpg

      jawab :

      Gambar:54.jpg 

      Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)

      Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut.
      Gambar:55.jpg

      Contoh:

      Selesaikan soal berikut!

      Gambar:56.jpg

      Jawab :

      gambar:57.jpg



      Bab 11
      Permutasi Siklis dan Contoh Soalnya

      Posting kali ini akan membahas tentang Permutasi Siklis atau dengan kata lain Susunan Melingkar dikarenakan permutasi ini dilakukan dengan membuat susunan yang dipadu secara melingkar. Sebelumnya sudah kami terbitkan posting tentang  Permutasi dan Kombinasi. Bedanya, posting kali ini membahas tentang bagian dari Permutasi yaitu Permutasi Siklis.



      PERMUTASI SIKLIS ( SUSUNAN MELINGKAR )
      Permutasi siklis berkaitan dengan penyusunan sederetan objek yang melingkar. Sebagai contoh adalah susunan duduk dari beberapa orang pada meja bundar. Permutasi ini juga dikenal dengan permutasi melingkar.

      A. RUMUS



      Bagaimana menentukan rumus permutasi siklik ?
      Perhatikan contoh berikut :
      Tentukan susunan yang dapat terjadi jika :
      o Ada 2 orang A1, A2 didudukkan dalam meja bundar ?
      o Ada 3 orang A1, A2, A3 didudukkan dalam meja bundar ?
      o Ada 4 orang A1, A2, A3, A4 didudukkan dalam meja bundar ?
      o Ada n orang A1, A2, A3, . . . . .,An didudukkan dalam meja bundar ?
      Jawab :
      Susunan pengaturan duduk pada 2 orang ada 1 yaitu
      o A1, A2
      Susunan pengaturan duduk pada 3 orang ada 2 yaitu
      o A1, A2, A3 dan
      o A1, A3, A2
      Susunan pengaturan duduk pada 4 orang ada 6 yaitu
      o A1, A2 , A3 , A4
      o A1, A2 , A4 , A3

      o A1, A3 , A2 , A4
      o A1, A3 , A4 , A2
      o A1, A4 , A2 , A3
      o A1, A4 , A3 , A2
      Tampak di sini bahwa A1 sebagai patokan diletakkan di urutan paling depan, sedangkan urutan selanjutnya adalah permutasi dari (A2 , A3 , A4) = 3! =6

      Susunan pengaturan duduk pada n orang yaitu....?



      Dengan penalaran yang sama dengan diatas maka A1 dinyatakan sebagai patokan yang ditulis pada urutan terdepan, sedangkan urutan berikutnya(A2 , A3 , A4 ,……,An) yang memiliki (n-1) anggota sehingga jika dipermutasikan terdapat (n-1) ! macam permutasi yang berbeda

      Dengan demikian banyak permutasi siklik yang beranggotakan n adalah (n-1) !

      Jika masih belum paham, berikut kami sajikan Contoh Soalnya:



      Contoh Soal:

      Sebanyak 6 orang anggota DPR, mengadakan rapat. Mereka duduk menghadap sebuah meja bundar (seperti Konferensi Meja Bundar saja, hehehhe) Berapa banyak cara mereka dapat menempati kursi yang disusun melingkar tersebut.



      Jawab:

      Soal ini tergolong mudah, kita tinggal memasukkannya pada rumus umum Permutasi Siklis di atas. Dengan nilai n = 6.



      Psiklis = (n-1)!

      Psiklis = (6 - 1)!

                 = 5 !

                 = 120 cara

      Jadi, terdapat sebanyak 120 cara membagi temapat duduk untuk keenam orang tersebut..
      Bagaimana, mudah bukan. Semoga bermanfaat bagi teman-teman.



       
      Bab 12
      Modus Ponens, Modus Tollens dan Contohnya


      Pembelajaran tentang modus ponens, modus tollens kali ini akan kita dapat di kleas X SMA, kalau tidak salah judul babnya adalah Logoika Matematika. Terdapat 3 penarikan kesimpulan yang sah untuk tiap persoalan logika matematika yaitu sebagai berikut:
      model 1:
      Diketahui premis-premis berikut.
      premis (1) : p —> q
      premis (2) : p
      kesimpulan : q
      pola penarikan kesimpulan argumentasi di atas adalah modus ponens.
      Arti Modus Ponens adalah “jika diketahui p q dan p, maka bisa ditarik kesimpulan q“.
      model 2:
      Diketahui premis-premis berikut.
      premis (1) : p —> q
      premis (2) : -q
      kesimpulan : -p
      pola penarikan kesimpulan argumentasi di atas adalah modus tolens.
      Sedangkan Modus Tollens berarti “jika diketahu p q dan ¬q, maka bisa ditarik kesimpulan ¬p“.
      model 3:
      Diketahui premis-premis berikut.
      premis (1) : p —> q
      premis (2) : q —> r
      kesimpulan : p —> r
      pola penarikan kesimpulan argumentasi di atas adalah silogisme.
      Berikut adalah contoh soal yang masuk dalam Ujian Nasioanl tahun 2006/2007:
      Diketahui pernyataan:
      1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi
      2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung
      3. Ani tidak memakai payung
      Kesimpulan yang sah adalah 
      a. hari panas
      b. hari tidak panas 
      c. Ani memakai topi
      d. hari panas dan Ani memakai topi
      e. hari tidak panas dan ani memakai topi
      Penyelesaian untuk kasus tersebut adalah seb agai berikut:
      p = hari panas
      q = Ani memakai topi
      r = Ani pakai paying

      p        q
      ~q  r
      ~r
      ~p
      Untuk pembuktian dengan percobaan Benar dan Salah, kasus ini terbukti tautology. Sehingga jawaban yang mungkian adalah B. hari tidak panas ( ~p)
      Semoga materi tentang modus ponens, modus tollens kali ini dapat membantu, jangan lupa untuk membaca materi matematika lainnya.
        Bab 13
      Rumus Luas dan Keliling Persegi, Segitiga dan Lingkaran 




      Rumus Luas dan Keliling Persegi, Segitiga dan Lingkaran - Kali ini postingannya mengenai matematika lagi nih sobat, Yaitu bagian dari rumus-rumus beberapa bangun datar, seperti Persegi, Persegi Panjang dan Segitiga. Ada juga postingan terdahulu mengenai Luas dan Volume bangun Kerucut.


      Rumus Persegi
      Keliling : 4 x Sisi
      contoh : Sisi = 5 
       cm2 
      Keliling = 4 x 5
      = 20 cm

      Luas : Sisi x Sisi


      Contoh Soal: 

      Diketahui sisi = 5 cm
      Maka luas = 5 x 5
                     = 25 cm2

       

      Rumus persegi panjang

      Keliling : 2 x (Panjang + Lebar)



      Contoh soal

      Diketahui panjang = 6 cm
      Lebar = 4 cm
      Keliling = 2 x (6 + 4)
      = 20 cm

      Luas : Panjang x Lebar
      Contoh soal: 

      Diketahuui panjang = 7 cm
      lebar = 4 cm
      Luas = 7 x 4
      = 28 cm2
      Rumus SegitigaKeliling : AB + AC + BC


      Contoh soal: 

      AB = 7 cm
      AC = 10 cm
      BC = 5 cm


      Kelililng : 7 + 10 + 5
      = 22 cm

      Luas Segitiga : 1/2 x alas (BC) x tinggi AB
      1/2 x 6 x 8
      = 24 cm2
      Rumus Lingkaran

      Keliling lingkaran :22/7 x diameter atau 2 x 22/7 x jari jari

      contoh soal: 
      diameter =28 cm
      jari jari = 2 x diameter = 28 : 2 = 14 cm
      Keliling : 22/7 x 28 = 88 cm

      Luas lingkaran : (22/7 atau 3,14) x jari jari (r)
      = 22/7 x 14 x 14
      = 44 x14
      = 616 cm2




      ☺☺ Selamat Belajar ☺ ☺